ガラーキン法

数学における数値解析の分野において、ガラーキン法は、有限の基底関数の集合によって決定される線形制約を適用することにより、微分方程式などの連続演算子問題（通常は弱い定式化）を離散問題に変換する一連の方法である。この方法は、ソビエトの数学者ボリス・ガラーキンにちなんで名付けられている。

ガラーキン法について言及する場合、使用される一般的な仮定と近似方法とともにその名前も示されることがよくあります。

• リッツ・ガラーキン法（ワルター・リッツに倣った）は、通常、弱定式化において対称かつ正定値の 双線形形式を仮定し、物理系の微分方程式は、系エネルギーを表す2次関数の最小化によって定式化され、近似解は与えられた基底関数の集合の線形結合となる。 ^[1]
• ブブノフ・ガラーキン法（イヴァン・ブブノフに由来）では、双線形形式が対称である必要はなく、エネルギー最小化を、解を近似するために使用される同じ基底関数によって決定される直交性制約で置き換えます。微分方程式の演算子定式化では、ブブノフ・ガラーキン法は、演算子に直交射影を適用するものとして考えることができます。
• ペトロフ・ガラーキン法（ Georgii I. Petrov ^[2]に由来）では、解を近似するために使用される基底関数とは異なる、直交性制約のための基底関数（テスト基底関数と呼ばれる）を使用できます。ペトロフ・ガラーキン法は、微分方程式の演算子定式化で必ずしも直交しない射影を適用するブブノフ・ガラーキン法の拡張と見なすことができます。

ガラーキン法の例は次のとおりです。

• 重み付き残差のガラーキン法は有限要素法における全体剛性行列を計算する最も一般的な方法である^{[3] [4]}
• 積分方程式を解く境界要素法、
• クリロフ部分空間法[ ^5]

まず、ガラーキン法を線形方程式系に適用する方法を紹介し、説明します。パラメータを次のように定義します。 ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&1&2\end{bmatrix}}}$

これは対称かつ正定値であり、右辺は

${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

この線形システムの真の解は

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

ガラーキン法では、低次元空間でシステムを解いて近似解を得ることができます。サブスペースの基底として次のものを使用します。

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$

すると、ガラーキン方程式は次のように書ける。ここで、左辺の行列は ${\displaystyle \left(V^{*}AV\right)\mathbf {y} =V^{*}\mathbf {b} }$

${\displaystyle V^{*}AV={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}},}$

そして右側のベクトルは

${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}.}$

すると、サブスペース内の解ベクトルが得られます。

${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$

これを最終的に元の空間に投影し、元の方程式の近似解を決定する。

${\displaystyle V\mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}.}$

この例では、元のヒルベルト空間は実際には標準的なスカラー積を備えた3次元ユークリッド空間であり、3行3列の行列は双線形形式を定義し、右側のベクトルは有界線形関数を定義します。列 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {v} }$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{T}A\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=\mathbf {b} ^{T}\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

行列の は、ガラーキン射影の 2 次元部分空間の正規直交基底を形成します。2 行 2 列のガラーキン行列の要素は であり、ガラーキン方程式の右辺ベクトルの要素は です。最後に、ガラーキン方程式の解ベクトルの要素と基底から、 近似解がとして得られます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}AV}$${\displaystyle a(e_{j},e_{i}),\,i,j=1,2}$${\displaystyle V^{*}\mathbf {b} }$${\displaystyle f(e_{i}),\,i=1,2}$${\displaystyle V\mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}y_{j}\mathbf {e} _{j}}$

ヒルベルト空間上の弱定式化として提示された抽象的な問題にガラーキン法を導入しよう。すなわち、 ${\displaystyle V}$

すべての に対して となるものを見つけます。${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle v\in V,a(u,v)=f(v)}$

ここで、は双線型形式（ に対する正確な要件は後で指定されます）であり、 は上の有界線型汎関数です。 ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$

n次元の部分空間を選択し、投影された問題を解きます。 ${\displaystyle V_{n}\subset V}$

すべての に対して となるものを見つけます。${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$

これをガラーキン方程式と呼びます。方程式は変更されておらず、空間のみが変更になっていることに注意してください。問題を有限次元ベクトル部分空間に縮小すると、の基底ベクトルの有限線形結合として数値的に計算できるようになります。 ${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$

ガラーキン法の重要な特性は、誤差が選択された部分空間に直交することです。 なので 、 を元の方程式のテストベクトルとして使用できます。 2つを減算すると、誤差のガラーキン直交関係が得られます。これは、元の問題の解とガラーキン方程式の解の間の誤差です。${\displaystyle V_{n}\subset V}$${\displaystyle v_{n}}$${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

ガラーキン法の目的は線形方程式系を作成することなので、アルゴリズム的に解を計算するために使用できる行列形式を構築します。

を の基底とする。すると、これらを順に使用してガラーキン方程式をテストするだけで十分である。すなわち、 ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

この基底について展開し、それを上の式に代入すると、 ${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

この式は実際には線形連立方程式であり、 ${\displaystyle Au=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

行列要素の定義により、双線形形式が対称である場合にのみ、ガラーキン方程式の行列は対称になります。 ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$

ここでは対称双線型形式に限定する。つまり 、

${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$

これは実際にはガラーキン法の制約ではありませんが、標準理論の適用ははるかに簡単になります。さらに、非対称の場合には ペトロフ・ガラーキン法が必要になる場合があります。

これらの方法の分析は 2 つのステップで進行します。まず、ガラーキン方程式がアダマールの意味で適切とみなされる問題であり、したがって一意の解が存在することを示します。2 番目のステップでは、ガラーキン解の近似の質を調べます。 ${\displaystyle u_{n}}$

分析は主に双線型形式の2つの性質、すなわち

• 有界性: すべてのホールド に対して${\displaystyle u,v\in V}$

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$一定の${\displaystyle C>0}$

• 楕円率: すべてのホールド ${\displaystyle u\in V}$

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$一定の${\displaystyle c>0.}$

ラックス＝ミルグラム定理（弱定式化を参照）によれば、これら 2 つの条件は、弱定式化における元の問題の適切性を意味します。以降のセクションのすべてのノルムは、上記の不等式が成り立つノルムになります（これらのノルムは、エネルギー ノルムと呼ばれることがよくあります）。

なので、双線形形式の有界性と楕円性は に適用されます。したがって、ガラーキン問題の適切性は、実際には元の問題の適切性から継承されます。 ${\displaystyle V_{n}\subset V}$${\displaystyle V_{n}}$

元の解とガラーキン解の間の 誤差は推定値として許容される。${\displaystyle u-u_{n}}$

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

これは、定数 までは、ガラーキン解は内の他のベクトルと同様に 元の解に近くなることを意味します。特に、解く方程式を完全に忘れて、 空間 による近似を研究するだけで十分です。${\displaystyle C/c}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$

証明は非常に単純で、すべてのガラーキン法の基本原理であるため、ここで示します。双線形形式の楕円性と有界性（不等式）およびガラーキン直交性（中央の等号）により、任意の に対して次が得られます。 ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

を で割って、すべての可能な最小値を求めると、補題が得られます。 ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$${\displaystyle v_{n}}$

上記のセクションでは説明を簡単にするために、双線形形式が対称かつ正定値であると仮定しました。これは、双線形形式がスカラー積であり、式が実際にはエネルギーノルムと呼ばれる有効なベクトルノルムであることを意味します。これらの仮定の下では、エネルギーノルムにおけるガラーキンの最良近似特性をさらに簡単に証明できます。 ${\displaystyle a(u,v)}$${\displaystyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$

ガラーキンの非直交性とエネルギーノルムの コーシー・シュワルツ不等式を用いると、

${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

を で割って、すべての可能な範囲にわたって下限値を取ると、ガラーキン近似がサブスペース 内のエネルギーノルムにおける最良の近似であることが証明されます。つまり、 は、スカラー積に関して直交する、サブスペース への解の射影に他なりません。 ${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle V_{n}\subset V}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle a(u,v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{n}}$

I. Elishakof、M. Amato、A. Marzani、PA Arvan、JN Reddy ^{[6] [7] [8] [9]} は、階段状構造へのガラーキン法の応用を研究した。彼らは、正確な結果を得るためには、一般化された関数、すなわち単位ステップ関数、ディラックのデルタ関数、および二重関数が必要であることを示した。

このアプローチは、通常、ボリス・ガラーキンの功績とされています。^{[10] [11]この方法は、ヘンキー[12]}やダンカン^{[13] [14]}などによって西洋の読者に説明されました。その収束性は、ミクリン^[15]やライプホルツ^{[16] [17] [18] [19]}によって研究されました。フーリエ法との一致は、エリシャコフら^{[20] [21] [22]}によって示されました。保存問題に対するリッツ法との等価性は、シンガーによって示されました。^[23]ガンダーとワナー^[24 ]は、リッツ法とガラーキン法がどのように現代の有限要素法につながったかを示しました。この方法の100年間の発展は、レーピンによって 議論されました。 ^[25]エリシャコフ、カプルノフ、カプルノフ^[26

• リッツ法

• 「ガラーキン法」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• MathWorld のガラーキン法