高次コンパクト差分スキーム

高次コンパクト差分スキームは、障害境界値問題の研究中に作成された3次微分方程式を解くために使用されます。これらは非常に正確で効率的であることが示されています。これらは、2002年にNoorとAl-Saidによって開発された2次スキームを修正することによって構築されています。高次コンパクトスキームの収束率は3次、2次スキームは4次です。 ^[1]

微分方程式は数学的モデリングに不可欠なツールです。ほとんどの物理システムは、いくつかの変数の対流および拡散輸送を含む数学モデルで記述されます。有限差分法は、そのような微分方程式を解くために最も頻繁に適用されている最も一般的な方法の 1 つです。有限差分スキームは、離散化された式が最大 9 個の点ステンシルで構成され、その中央に差分をとるノードが含まれるという意味でコンパクトです。さらに、精度の次数が高い (2 を超える) ため、「高次コンパクト有限差分スキーム」(HOC) という用語が正当化されます。これはいくつかの方法で実現できます。ここで検討されている高次コンパクト スキーム^[2]は、元の微分方程式を使用して、有限差分方程式の主要な打ち切り誤差項を置き換えます。全体として、このスキームは、ここでさらに説明するほとんどの数値流体力学(CFD) アプリケーションで堅牢、効率的、正確であることがわかりました。

数値アルゴリズムの検証のための最も単純な問題は、蓋駆動キャビティ問題です。プラントル数 = 0.71、レイリー数 (Ra) が 10 ³～ 10 ⁷の流体の計算結果は、表、グラフ、図の形式で文献に記載されています。^[2]この方式の有効性は、Ra 値が高い場合にキャビティの側面で二次渦と三次渦が非常に明確に捉えられることで証明されています。

もう 1 つの画期的な出来事は、2 次元の定常/非定常対流拡散方程式を解くためのこれらのスキームの開発でした。衝撃的に始動した円筒を過ぎる流れの包括的な研究が行われました。^[3]円筒を過ぎる流れの問題は、主に最も単純な幾何学的設定で非圧縮性粘性流の流体力学現象のほとんどすべてを示すため、CFD に取り組んでいる研究者の間で大きな関心を^集め続けています [説明が必要]。既存の数値結果と比較して、レイノルズ数 (Re) が 10 から 9500 の範囲で、より正確に流れのパターンを分析および視覚化できました。その後、Re が 200 から 1000 の範囲で、円筒表面の回転する対応部分に拡張されました。^[4]流体内で移動しながら回転振動する円筒を含むより複雑な現象は、Re が 500 まで高い場合に研究されています。^{[5] [6]}

歴史上、もう一つのベンチマークは、多相流現象への拡張です。油中の気泡、氷の融解、湿り蒸気などの自然現象は、自然界のいたるところで観察されています。このようなプロセスは、生物学、医学、環境修復の分野での実用化においても重要な役割を果たしています。このスキームは、不連続係数と特異なソース項を持つ1次元および2次元の楕円および放物線方程式を解くために、連続的に実装されてきました。 ^[7]これらのタイプの問題は、通常、界面全体で滑らかでない、または不連続な解につながるため、数値的に重要です。このアイデアを、規則的な形状と不規則な形状の両方を持つ固定界面から移動する界面まで拡張することが現在進行中です。^{[8] [9]}