分析要素法

解析要素法( AEM ) は、偏微分方程式を解くために使用される数値的手法です。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}これは、ミネソタ大学の ODL Strack によって最初に開発されました。モデル化されたシステムの体積や領域の離散化に依存しないため、境界要素法(BEM)と性質が似ています。内部境界と外部境界のみが離散化されます。AEM と BEM の主な違いの 1 つは、境界積分が解析的に計算されることです。AEM は、もともと地下水流をモデル化するために開発されましたが、^{[ 4 ]}その後、熱流と伝導、周期波、力による変形の研究など、他の研究分野にも適用されています。^{[ 5 ]}

解析要素法の基本的な前提は、線形微分方程式の場合、基本解を重ね合わせることでより複雑な解が得られるという点です。さまざまな支配方程式に対して、2次元および3次元の解析解（「要素」）が用意されています。これらの要素は通常、従属変数またはその勾配が幾何学的境界（点、線、楕円、円、球など）に沿って不連続となる点に対応します。この不連続は特定の関数形式（通常は2次元の多項式）を持ち、ディリクレ境界条件、ノイマン境界条件、またはロビン境界条件（混合境界条件）を満たすように操作できます。各解析解は空間および／または時間において無限です。

一般的に、各解析解には、要素の境界に沿って規定された境界条件を満たすように計算できる自由度（係数）が含まれています。全体解（すなわち、正しい要素係数）を得るには、すべての要素に沿って境界条件が満たされるように連立方程式を解きます（コロケーション法、最小二乗法、または同様の手法を使用）。特に、全体解は無限領域全体で従属変数の空間的に連続な記述を提供し、支配方程式は要素の境界を除いてあらゆる場所で厳密に満たされます。境界では、不連続性のため支配方程式は厳密には適用できません。

多数の要素を単一の解に重ね合わせることができるため、任意の複雑な境界条件に対して解析解を得ることができます。つまり、複雑な形状、直線または曲線境界、複数の境界、過渡的な境界条件、複数の帯水層、区分的に変化する特性、連続的に変化する特性を持つモデルを解くことができます。要素は遠方場展開を用いて実装できるため、数千もの要素を含むモデルでも効率的に高精度で解くことが可能です。

解析要素法は、ラプラス方程式、ポアソン方程式、修正ヘルムホルツ方程式^{[ 6 ]} 、熱方​​程式、および重調和方程式など、さまざまな線形偏微分方程式によって支配される地下水流の問題に適用されてきました。これらの方程式は、複素変数を使用して解かれることが多く、複素変数理論で利用可能な数学的手法を使用できます。複雑な問題を解くための有用な手法は、楕円などの幾何学的境界を、解が既知である単位円の境界に写像する等角写像を使用することです。

解析要素法では、放流量ポテンシャルと流れ関数、あるいはそれらを組み合わせた複素ポテンシャルが用いられます。このポテンシャルは、地下水系の物理的特性、すなわち水頭または流れ境界を、ポテンシャルの数学的表現と結びつけます。この数学的表現を用いることで、位置に関するポテンシャルを計算し、地下水流問題を解くことができます。要素は、水頭または流れ境界のいずれかの境界条件を解くことによって開発され、その結果、多数の境界条件に対応できる解析解が得られます。

前述のように、解析要素法は、有限要素法や有限差分法のように、モデル内の体積や面積の離散化に依存しません。そのため、機械精度程度の誤差で複雑な問題をモデル化できます。これは、ランダムな導電率を持つ10万個の球状不均質性を含め、4万個の粒子を追跡することで、高度に不均質で等方性の帯水層をモデル化した研究で示されています。^{[ 7 ]}解析要素法は、多くの複雑な問題に対して地下水流を迅速かつ正確に計算できるため、大規模プロジェクトにおける検証ツールまたはスクリーニングツールとして効率的に使用できます。^{[ 8 ] [ 9 ]}

有限要素法や有限差分法など、一般的に使用される他の地下水モデリング手法とは対照的に、AEM はモデル領域をセルに離散化しません。これにより、モデルがモデル領域内の任意の点に対して有効であるという利点が得られます。ただし、セル グリッドを使用してモデリングする場合のように、領域をたとえば異なる水理伝導率の領域に簡単に分割することはできません。ただし、この問題の 1 つの解決策は、AEM モデルにサブ ドメインを含めることです。^{[ 10 ]}また、帯水層内の垂直方向に変化する特性や構造を AEM モデルに実装するためのソリューションも存在します。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

• 境界要素法
• 等角写像
• 重ね合わせの原理

• Haitjema , HM (1995).地下水流の解析的要素モデリング(PDF) . サンディエゴ、カリフォルニア州: Academic Press. ISBN 978-0-12-316550-3。
• Strack, ODL (1989).地下水力学. ニュージャージー州エングルウッド・クリフス: プレンティス・ホール.
• Fitts, CR (2012).地下水科学（第2 版）. サンディエゴ、カリフォルニア州：Elsevier/Academic Press. ISBN 9780123847058。

• 分析要素コミュニティウェブサイト
• Fitts Geolsolutions、AnAqSim（解析的帯水層シミュレーター）およびAnAqSimEDU（無料）ウェブサイト