マコーマック法

計算流体力学において、マコーマック法（/məˈkɔːrmæk ˈmɛθəd/）は、双曲型偏微分方程式の数値解法に広く用いられている離散化手法である。この2次有限差分法は、 1969年にロバート・W・マコーマックによって導入された。^{[ 1 ]}マコーマック法は洗練されていて、理解しやすく、プログラミングも容易である。^{[ 2 ]}

マコーマック法は、次の形式の双曲型偏微分方程式を解くために設計されています。

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u)}{\partial x}}=0}$

この方程式を1タイムステップ更新するには${\displaystyle \Delta t}$間隔を空けたグリッド上${\displaystyle \Delta x}$グリッドセル内${\displaystyle i}$マコーマック法では、以下に示す「予測ステップ」と「修正ステップ」を使用します^{[ 3 ]。}

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(f_{i+1}^{n}-f_{i}^{n}\right)\\&u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{p})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(f_{i}^{p}-f_{i-1}^{p})\end{aligned}}}$

アルゴリズムを説明するために、次の一次双曲型方程式を考えてみましょう。

$\displaystyle \qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.}$

上記の式にマコーマック法を適用する手順は、予測ステップとそれに続く修正ステップの2段階で行われます。

予測ステップ:予測ステップでは、「暫定」値${\displaystyle u}$時間レベルで${\displaystyle n+1}$（以下で示される）$u_i^p$）は次のように推定される。

${\displaystyle u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)}$

上記の式は、前の1階双曲方程式の空間微分と時間微分を前方差分を用いて置き換えることによって得られます。

補正ステップ:補正ステップでは、予測値が$u_i^p$方程式に従って修正されます

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)}$

補正ステップでは、空間微分に後方有限差分近似を使用することに注意してください。補正ステップで使用される時間ステップは次のとおりです。${\displaystyle \Delta t/2}$それとは対照的に${\displaystyle \Delta t}$予測ステップで使用されます。

交換する$u_i^n+1/2$時間平均による項

${\displaystyle u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}}$

補正ステップを取得するには

${\displaystyle u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)}$

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