アップウィンド方式

計算物理学において、移流スキームという用語は、双曲偏微分方程式を解くための数値離散化法の一種を指します。いわゆる風上スキームでは、通常、いわゆる上流変数を使用して流れ場の導関数を計算します。つまり、導関数は、流れの方向に関してクエリポイントの「風上」に偏ったデータポイントのセットを使用して推定されます。歴史的に、風上法の起源は、 CIR法を提案したCourant、Isaacson、およびReesの研究にまで遡ることができます。^[1]

この方法を説明するために、次の1次元線形移流方程式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

これは、速度 で軸に沿って伝播する波を記述します。この方程式は、1 次元の線形移流の数学的モデルでもあります。領域内の一般的なグリッド ポイントを考えてみましょう。1 次元領域では、ポイントに関連付けられている方向は、左 (負の無限大に向かう) と右 (正の無限大に向かう) の 2 つだけです。が正の場合、上記の方程式の進行波解は右に向かって伝播し、左側は風上側、右側は風下側と呼ばれます。同様に、が負の場合、進行波解は左に向かって伝播し、左側は風下側、右側は風上側と呼ばれます。空間微分に対する有限差分スキームで風上側に多くのポイントが含まれる場合、そのスキームは風上バイアススキームまたは単に風上スキームと呼ばれます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \partial u/\partial x}$

最も単純な風上スキームは一次風上スキームである。これは^{[2]で与えられる。}

ここで、 は次元を指し、 は次元を指します。（比較すると、このシナリオの中心差分スキームは次のようになります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0,}$

の符号に関係なく。 ${\displaystyle a}$

定義

${\displaystyle a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)}$

そして

${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}}$

2つの条件式( 1 )と( 2 )を組み合わせて簡潔に書くと、

式(3)は、あらゆる風上型スキームを記述する一般的な方法です。

風上スキームは、以下のクーラン・フリードリヒス・レヴィ条件（CFL）が満たされる場合に安定である。^[3]

${\displaystyle c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1}$そして。${\displaystyle 0\leq a}$

上で説明したアップウィンド方式のテイラー級数解析により、空間と時間において一次精度であることが示されます。修正波数解析では、一次アップウィンド方式では、急勾配を表現するために高い波数が必要であるため、大きな勾配が存在するソリューションで深刻な数値拡散/散逸が発生することが示されます。

1次の風上スキームの空間精度は、2つのデータポイントではなく3つのデータポイントを含めることで改善され、空間微分の近似のためのより正確な差分ステンシルが提供されます。2次の風上スキームの場合、は式（ 3 ）の3点後方差分となり、次のように定義されます。 ${\displaystyle u_{x}^{-}}$

${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}}$

3ポイントの前進差は次のように定義されます 。${\displaystyle u_{x}^{+}}$

${\displaystyle u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}}$

この方式は、一次精度方式に比べて拡散性が低く、線形風上差分 (LUD) 方式と呼ばれます。

• 差分法
• 対流の風上差分スキーム
• ゴドゥノフの計画