バーンスタイン多項式

数値解析の数学の分野において、バーンスタイン多項式は、バーンスタイン基底多項式の線形結合として表現される多項式です。この考え方は、数学者セルゲイ・ナタノビッチ・バーンスタインにちなんで名付けられました。

バーンスタイン形式の多項式は、ワイエルシュトラスの近似定理の構成的証明においてバーンスタインによって初めて使用されました。コンピュータグラフィックスの出現により、区間 [0, 1] に制限されたバーンスタイン多項式は、ベジェ曲線の形で重要になりました。

ベルンシュタイン形式の多項式を評価する数値的に安定した方法は、ド・カステルジャウのアルゴリズムです。

n次のn  +1バーンスタイン基底多項式は次のように定義される。

${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} {\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,}$

ここで は二項係数です。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{\nu }}}$

例えば、${\displaystyle b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.}$

1、2、3、または 4 つの値をブレンドするための最初のいくつかの Bernstein 基底多項式は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

n次ベルンシュタイン基底多項式は、実係数を持つ 最大 n次多項式のベクトル空間の基底を形成します。 ${\displaystyle \Pi _{n}}$

バーンスタイン基底多項式の線形結合

${\displaystyle B_{n}(x)\mathrel {:} \mathrel {=} \sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)}$

はn次のベルンシュタイン多項式またはベルンシュタイン形式の 多項式と呼ばれます。^[1] 係数はベルンシュタイン係数またはベジェ係数と呼ばれます。 ${\displaystyle \beta _{\nu }}$

上記の単項式形式のバーンスタイン基底多項式の最初のいくつかは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-1x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}}$

バーンスタイン基底多項式には次の特性があります。

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$、または${\displaystyle \nu <0}$${\displaystyle \nu >n.}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0}$のために${\displaystyle x\in [0,\ 1].}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$クロネッカーのデルタ関数はどこにありますか？${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$には点で重複根があります(注意: の場合、0 に根はありません)。${\displaystyle \nu }$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle \nu =0}$
• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$には点で重複根があります(注意: の場合、1 に根はありません)。${\displaystyle \left(n-\nu \right)}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \nu =n}$
• 導関数は、2 つの低次多項式の組み合わせとして表すことができます。$${\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).}$$
• 0における k次導関数:$${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.}$$
• 1における k次導関数:$${\displaystyle b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).}$$
• ベルンシュタイン多項式から単項式への変換はであり、逆二項式変換により逆変換は^{[2]である。}$${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$$ $${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$$
• 不定積分は次のように与えられる。$${\displaystyle \int b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).}$$
• 定積分は与えられたnに対して一定である。$${\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.}$$
• ならば、 は の区間で唯一の極大値を持ちます。この極大値は${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$${\displaystyle [0,\,1]}$${\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}}$$${\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.}$$
• 次数のベルンシュタイン基底多項式は1の分割を形成する。${\displaystyle n}$$${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.}$$
• の1次微分をとり、定数として扱い 、値を代入すると、${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1-x}$$${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.}$$
• 同様にの2次微分を に代入すると、${\displaystyle x}$${\displaystyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y=1-x}$$${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.}$$
• バーンスタイン多項式は常に、高次多項式の線形結合として表すことができます。$${\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).}$$
• 第一種チェビシェフ多項式のベルンシュタイン基底への展開は^[3] $${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).}$$

ƒを区間[0, 1]上の 連続関数とする。ベルンシュタイン多項式を考える。

${\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).}$

それは次のことが証明できる

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f}$

区間[0, 1]上で一様である。 ^{[4] [1] [5] [6]}

このように、ベルンシュタイン多項式は、実数区間[ a ,  b ]上のすべての実数値連続関数は、上の多項式関数によって一様に近似できる というワイエルシュトラスの近似定理を証明する一つの方法を提供します。^[7]${\displaystyle \mathbb {R} }$

連続k次導^関数のより一般的な記述は次のようになる。

${\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,}$

さらに

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)}$

はB _nの固有値であり、対応する固有関数はk次多項式です 。

この証明は1912年のバーンスタインのオリジナルの証明に従っています。^[8]また、Feller (1966) または Koralov & Sinai (2007) も参照してください。^{[9] [5]}

まず、バーンスタインの元の証明について直感的に説明します。コンパクトな区間上の連続関数は、一様連続でなければなりません。したがって、任意の連続関数の値は、区間内のいくつかの有限の点の網上の値によって一様に近似できます。この考慮により、多項式は有限個のペアに一致する（またはほぼ一致する）ほど柔軟でなければならないため、近似定理が直感的になります。これを行うには、（1）格子上でに近い関数を構築し、次に（2）格子の外側の関数を平滑化して多項式を作成します。 ${\displaystyle (x,f(x))}$${\displaystyle f}$

以下の確率的証明は、関数を「平滑化」することが必ずしも自明ではないことを前提として、そのような点格子上で にほぼ等しい多項式を作成するための構成的方法を提供するだけです。単純な分布を持つランダム変数の期待値を取ることは、平滑化の一般的な方法です。ここでは、バーンスタイン多項式が二項期待値のように見えるという事実を利用します。区間をn個の離散値の格子に分割します。次に、任意のf(x) を評価するために、二項分布によってランダムに選択されたxに近いn 個の格子点の 1 つでf を評価します。この近似手法の期待値は多項式であり、二項 RV の関数の期待値です。以下の証明は、これがfの一様近似を達成することを示しています。証明の要点は、(1)二項分布の集中特性によって任意の点を二項的に選択された格子点に置き換えることを正当化し、(2)一様連続性によってからへの推論を正当化することです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\approx X}$${\displaystyle f(x)\approx f(X)}$

Kが、各試行の成功確率xでn回の独立したベルヌーイ試行の成功回数として分布するランダム変数であると仮定します。言い換えると、Kはパラメータnと xの二項分布に従います。すると、期待値と ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\ }$

${\displaystyle p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)}$

確率論の大数の弱い法則によれば、

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0}$

あらゆるδ  > 0 に対して成り立ちます。さらに、この関係はxにおいて一様に成り立ち、これはチェビシェフの不等式による証明からわかります。この証明では、 1 ⁄ n  Kの分散は1 ⁄ n x (1− x )に等しく、 xに関係なく1 ⁄ (4 n )で上界が決まることを考慮しています。  

ƒは閉区間上で連続なので、その区間上で一様連続でなければならないため、次のような表現が成り立つ。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0}$

は各 に対してxに関して一様である。ƒが（与えられた区間上で）有界である ことを考慮すると、${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

はxにおいて一様です。この記述を正当化するために、確率論で一般的な方法を使用して、確率の近さから期待値の近さに変換します。1つは、 の期待値をかどうかに基づいて2つの部分に分割します。差がε を超えない区間では、期待値がε を超えることは明らかにありません。もう一方の区間では、差は依然として 2 M を超えることはできません。ここで、M は| ƒ (x)|の上限です(一様連続関数は有界であるため)。ただし、「確率の近さ」の記述により、この区間の確率はε を超えることはできません。したがって、期待値のこの部分はεの 2 M倍を超えて寄与することはありません。すると、全体の期待値は を超えなくなり、 ε を小さく選択することでこれを任意に小さくすることができます。 ${\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|}$${\displaystyle \left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon }$${\displaystyle \epsilon +2M\epsilon }$

最後に、期待値の差の絶対値は、ホルダーの不等式の結果、差の絶対値の期待値を超えることはないことが分かります。したがって、上記の期待値を使用すると、（xについて一様に）

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\operatorname {\mathcal {E}} f\left({\frac {K}{n}}\right)-\operatorname {\mathcal {E}} f\left(x\right)\right|}\leq \lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0}$

xが定数である間、ランダム性はKにわたっていたことに注目すると、 f(x)の期待値はf(x)にちょうど等しくなります。しかし、f(x)に収束することが示されました。 がxの多項式である場合はこれで終わりです(添え字はx がKの分布を制御することを思い出させます)。 実際は次のようになります。 ${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} f\left({\frac {K}{n}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {{\mathcal {E}}_{x}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

上記の証明では、f を含む各極限での収束はfの一様連続性に依存し、これはfの 連続性係数 に依存する収束速度を意味することを思い出してください。これは関数の絶対境界である「M」にも依存しますが、境界 と区間サイズがあればこれを回避できます。したがって、近似は固定されたfに対してxにわたって一様にのみ成立しますが、等連続性のコンテキストで一連のバーンスタイン多項式を使用して一連の関数を一様に近似するように証明を容易に拡張できます。 ${\displaystyle \omega .}$${\displaystyle \omega }$

確率論的証明は、基礎となる確率論的考え方を使いながらも直接検証を進めるという初歩的な方法で言い換えることもできる。^{[10] [6] [11] [12] [13]}

以下の身元を確認できます:

1. ${\displaystyle \sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1}$（"確率"）
2. ${\displaystyle \sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x}$（"平均"）
3. ${\displaystyle \sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.}$（"分散"）

実際、二項定理によれば

$${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},}$$

この式は に2回適用することができます。 を代入すると、等式(1)、(2)、(3)が簡単に得られます。 ${\displaystyle t{\frac {d}{dt}}}$${\displaystyle t=x/(1-x)}$

これら3つの恒等式の中で、上記の基底多項式表記法を使用する。

${\displaystyle b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},}$

そして

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

したがって、同一性（１）によって

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),}$

となることによって

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

f は一様連続なので、 が与えられれば、 のときはいつでも となる が存在します。さらに連続性により、となります。しかし、 ${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(a)-f(b)|<\varepsilon }$${\displaystyle |a-b|<\delta }$${\displaystyle M=\sup |f|<\infty }$

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).}$

最初の合計はεより小さい。一方、上記の恒等式（3）により、また なので、2番目の合計 は${\displaystyle |x-k/n|\geq \delta }$${\displaystyle 2M}$

${\displaystyle \sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<{1 \over 4}\delta ^{-2}n^{-1}.}$

（チェビシェフの不等式）

したがって、多項式f _{n は}一様にfに近づくことになります。

バーンスタイン多項式はk次元に一般化することができ、結果として得られる多項式はB _{i 1} ( x ₁ ) B _{i 2} ( x ₂ ) ... B _{i k} ( x _k )の形をとる。^[1]最も単純なケースでは単位区間[0,1]の積のみが考慮されるが、直線のアフィン変換を使用すると、バーンスタイン多項式は積[ a ₁ , b ₁ ] × [ a ₂ , b ₂ ] × ... × [ a _k , b _k ]に対しても定義できる。単位区間のk倍積上の連続関数fに対して、 f ( x ₁ , x ₂ , ... , x _k )が次のように一様に近似できること の証明は、

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

は、1次元におけるバーンスタインの証明の直接的な拡張である。 ^[14]

• 多項式補間
• ニュートン形式
• ラグランジュ形式
• 二項QMF （ Daubechiesウェーブレットとも呼ばれる）

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• この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Bernstein 多項式の特性に関する資料が組み込まれています。