不確実性の伝播

統計学において、不確実性の伝播とは、変数の不確実性が、それらに基づく関数の不確実性に及ぼす影響のことである。変数が実験測定値である場合、測定上の制約（例えば、測定器の精度）による不確実性が存在し、それが関数内の変数の組み合わせによって伝播する。

不確実性u は、さまざまな方法で表現できます。絶対誤差Δ xで定義することもできます。不確実性は、相対誤差(Δ x )/ xで定義することもでき、これは通常パーセンテージで表されます。最も一般的には、量の不確実性は、分散の正の平方根である標準偏差 σ で定量化されます。この場合、量の値とその誤差は、区間x ± uで表されます。しかし、不確実性を特徴付ける最も一般的な方法は、その確率分布を指定することです。変数の確率分布が既知であるか、仮定できる場合、理論的には、その統計量をすべて得ることができます。特に、変数の真の値が見つかる可能性のある領域を記述する信頼限界を導出することができます。たとえば、正規分布に属する一次元変数の 68% 信頼限界は、中心値xから約 ± 1 標準偏差σであり、これは、領域x ± σが約 68% のケースで真の値をカバーすることを意味します。

不確実性が相関している場合は、共分散を考慮する必要があります。相関は 2 つの異なる原因から生じる可能性があります。1 つ目は、測定誤差が相関している場合です。2 つ目は、母集団全体で基礎となる値が相関している場合、グループ平均の不確実性も相関します。^{[ 1 ]}

非線形関数が不確実なパラメータ（相関があるかないかにかかわらず）を変更する一般的な状況では、不確実性を伝播させ、結果として生じる量の確率分布/統計を推測するための標準的なツールは、モンテカルロ法ファミリーのサンプリング技術です。^{[ 2 ]}非常に大きなデータセットまたは複雑な関数の場合、誤差伝播の計算は非常にコストがかかる可能性があるため、代理モデル^{[ 3 ]}または並列計算戦略^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}が必要になる場合があります。

特定のケースでは、不確実性伝播の計算を単純な代数的手法で行うことができる。以下に、そのようなケースをいくつか示す。

させて${\displaystyle \{f_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\}}$m個の関数の集合であり、それらは線形結合である。${\displaystyle n}$変数${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$組み合わせ係数付き${\displaystyle A_{k1},A_{k2},\dots ,A_{kn},(k=1,\dots ,m)}$: $${\displaystyle f_{k}=\sum _{i=1}^{n}A_{ki}x_{i},}$$ または行列表記では、 $${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {A} \mathbf {x} .}$$

また、x = ( x ₁ , ..., x _n )の分散共分散行列を次のように表す。${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$平均値を と表す${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{x}=\operatorname {E} [(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})]&={\begin{pmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\sigma _{13}&\cdots \\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\sigma _{23}&\cdots \\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{3}^{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}{\Sigma }_{11}^{x}&{\Sigma }_{12}^{x}&{\Sigma }_{13}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{21}^{x}&{\Sigma }_{22}^{x}&{\Sigma }_{23}^{x}&\cdots \\{\Sigma }_{31}^{x}&{\Sigma }_{32}^{x}&{\Sigma }_{33}^{x}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \otimes }$は外積です。

次に、分散共分散行列${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$fの値は次のように与えられます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\Sigma }}^{f}&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\otimes (\mathbf {f} -\operatorname {E} [\mathbf {f} ])\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes \mathbf {A} (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\\[1ex]&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\otimes (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

成分表記では、方程式 $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}=\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}$$ 読む $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}\sum _{l}^{n}A_{ik}{\Sigma }_{kl}^{x}A_{jl}.}$$

これは、ある変数セットから別の変数セットへの誤差の伝播を表す最も一般的な表現です。xの誤差が無相関の場合、この一般的な表現は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \Sigma _{ij}^{f}=\sum _{k}^{n}A_{ik}\Sigma _{k}^{x}A_{jk},}$$ どこ${\displaystyle \Sigma _{k}^{x}=\sigma _{x_{k}}^{2}}$は、 xベクトルのk番目の要素の分散です。xの誤差は無相関である可能性がありますが、 fの誤差は一般に相関していることに注意してください。つまり、${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}}$は対角行列です。${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}^{f}}$一般的には完全行列である。

スカラー値関数fの一般式はもう少し単純です (ここでaは行ベクトルです)。 $${\displaystyle f=\sum _{i}^{n}a_{i}x_{i}=\mathbf {ax} ,}$$$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}\sum _{j}^{n}a_{i}\Sigma _{ij}^{x}a_{j}=\mathbf {a} {\boldsymbol {\Sigma }}^{x}\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }.}$$

各共分散項${\displaystyle \sigma _{ij}}$相関係数で表すことができる${\displaystyle \rho _{ij}}$による${\displaystyle \sigma _{ij}=\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$したがって、 fの分散の別の表現は次のようになります 。$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}+\sum _{i}^{n}\sum _{j(j\neq i)}^{n}a_{i}a_{j}\rho _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$$

xの変数が無相関である場合、これはさらに単純化され、 $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=\sum _{i}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}.}$$

係数と分散が同一の単純なケースでは、次のようになります。 $${\displaystyle \sigma _{f}={\sqrt {n}}\,|a|\sigma .}$$

算術平均の場合、${\displaystyle a=1/n}$その結果は平均の標準誤差です。 $${\displaystyle \sigma _{f}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$$

f が変数xの非線形結合の集合である場合、変数のすべての整合値を含む区間を計算するために区間伝播を実行できます。確率的アプローチでは、関数fは通常、1 次テイラー級数展開への近似によって線形化する必要がありますが、積の正確な分散の場合のように、展開に依存しない正確な式を導出できる場合もあります。^{[ 7 ]}テイラー展開は次のようになります。 $${\displaystyle f_{k}\approx f_{k}^{0}+\sum _{i}^{n}{\frac {\partial f_{k}}{\partial {x_{i}}}}x_{i}}$$ どこ${\displaystyle \partial f_{k}/\partial x_{i}}$は、ベクトルxのすべての成分の平均値で評価された、i​​ 番目の変数に関するf _kの偏微分を表します。または、行列表記では、 $${\displaystyle \mathrm {f} \approx \mathrm {f} ^{0}+\mathrm {J} \mathrm {x} \,}$$ ここで、J はヤコビ行列です。f ⁰は定数であるため、f の誤差には寄与しません。したがって、誤差の伝播は上記の線形の場合に従いますが、線形係数A _kiおよびA _kjを偏微分に置き換えます。${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{i}}}}$そして${\displaystyle {\frac {\partial f_{k}}{\partial x_{j}}}}$行列表記では、^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {f} }=\mathrm {J} \mathrm {\Sigma } ^{\mathrm {x} }\mathrm {J} ^{\top }.}$$

つまり、関数のヤコビアンを使用して、引数の分散共分散行列の行と列を変換します。これは、線形の場合の行列表現と同等であることに注意してください。${\displaystyle \mathrm {J=A} }$。

この表は、実変数の単純な関数の分散と標準偏差を示しています。${\displaystyle A,B}$標準偏差付き${\displaystyle \sigma _{A},\sigma _{B},}$共分散${\displaystyle \sigma _{AB}=\rho _{AB}\sigma _{A}\sigma _{B},}$相関関係${\displaystyle \rho _{AB}.}$実数値係数${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は正確に既知であると仮定される（決定論的）、すなわち、${\displaystyle \sigma _{a}=\sigma _{b}=0.}$

表の右側の列では、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$は期待値であり、${\displaystyle f}$これは、それらの値で計算された関数の値です。

相関のない変数については（${\displaystyle \rho _{AB}=0}$、${\displaystyle \sigma _{AB}=0}$より複雑な関数の式は、より単純な関数を組み合わせることによって導き出すことができます。たとえば、相関関係がないと仮定して繰り返し乗算すると、次のようになります。 $${\displaystyle f=ABC;\qquad \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}\approx \left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{C}}{C}}\right)^{2}.}$$

ケース${\displaystyle f=AB}$また、正確な分散については グッドマンの式^{[ 7 ]も得られます。無相関の場合、それは次のようになります。}$${\displaystyle \operatorname {V} [XY]=\operatorname {E} [X]^{2}\operatorname {V} [Y]+\operatorname {E} [Y]^{2}\operatorname {V} [X]+\operatorname {V} [X]\operatorname {V} [Y],}$$ したがって、 $${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=A^{2}\sigma _{B}^{2}+B^{2}\sigma _{A}^{2}+\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}.}$$ 最後の項は、両辺をで割るとわかるように、通常の公式に対する小さな修正を表しています。${\displaystyle f^{2}=A^{2}B^{2}}$。 $${\displaystyle \left({\frac {\sigma _{f}}{f}}\right)^{2}=\left({\frac {\sigma _{A}}{A}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{B}}{B}}\right)^{2}+\left({\frac {\sigma _{A}\sigma _{B}}{AB}}\right)^{2}.}$$

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• soerp パッケージは、不確実性（および誤差相関）を伴う *2次* 計算を透過的に実行するための Python プログラム/ライブラリです。
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