FEMを用いたモード解析

構造力学におけるモード解析の目的は、自由振動中の物体または構造物の固有モード形状と固有振動数を決定することです。この解析には有限要素法（FEM）を用いるのが一般的です。なぜなら、FEMを用いた他の計算と同様に、解析対象の形状は任意であり、計算結果も許容範囲内だからです。モード解析から得られる方程式は、固有系に見られるものです。この系を解くことで得られる固有値と固有ベクトルの物理的な解釈は、それらが振動数とそれに対応するモード形状を表しているということです。場合によっては、最も低い周波数のモードのみが必要なこともあります。なぜなら、それらは物体が振動する際に最も顕著なモードとなり、より高い周波数のモードをすべて凌駕する可能性があるからです。

実物を試験して、その固有振動数とモード形状を求めることも可能です。これは実験的モード解析と呼ばれます。この物理試験の結果を用いて有限要素モデルを較正し、前提条件（例えば、適切な材料特性や境界条件が用いられたかどうか）が正しかったかどうかを判断できます。

フックの法則に従う線形弾性材料に関する最も基本的な問題では、行列方程式は動的な3次元ばね質量系の形をとります。一般化された運動方程式は次のように与えられます。^{[ 1 ]}

${\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[C][{\dot {U}}]+[K][U]​​=[F]}$

どこ${\displaystyle [M]}$は質量行列です。 ${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$は変位の 2階時間微分である${\displaystyle [U]}$（つまり、加速度）${\displaystyle [{\dot {U}}]}$ 速度は、${\displaystyle [C]}$は減衰行列であり、 ${\displaystyle [K]}$は剛性行列であり、${\displaystyle [F]}$ は力ベクトルです。減衰がゼロでない場合の一般的な問題は、二次固有値問題です。ただし、振動モード解析では、減衰は一般的に無視され、左辺には第1項と第3項のみが残ります。

${\displaystyle [M][{\ddot {U}}]+[K][U]​​=[0]}$

これは、有限要素法を用いた構造工学で遭遇する固有系の一般形です。構造の自由振動解を表すために、調和運動が仮定されます。^{[ 2 ]}この仮定は、${\displaystyle [{\ddot {U}}]}$ 等しくみなされる${\displaystyle \lambda [U]}$、 どこ${\displaystyle \lambda }$は固有値です（単位は時間の二乗の逆数、例：${\displaystyle \mathrm {s} ^{-2}}$これを用いると、式は次のように簡略化されます。^{[ 3 ]}

${\displaystyle [M][U]\lambda +[K][U]​​=[0]}$

一方、静的問題に関する方程式は次のようになります。

${\displaystyle [K][U]​​=[F]}$

これは、時間微分を含むすべての項をゼロに設定した場合に予想される結果です。

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