トポロジー最適化

トポロジー最適化は、システムのパフォーマンスを最大化することを目的として、特定の設計空間内で、特定の一連の負荷、境界条件、制約に対して材料レイアウトを最適化する数学的手法です。トポロジー最適化は、定義済みの構成を扱うのではなく、設計空間内で任意の形状を実現できるという点で、形状最適化やサイズ最適化とは異なります。

従来のトポロジー最適化定式化では、有限要素法(FEM) を使用して設計パフォーマンスを評価します。設計は、最適基準アルゴリズムや移動漸近線法などの勾配ベースの数理計画法、または遺伝的アルゴリズムなどの非勾配ベースのアルゴリズムを使用して最適化されます。

トポロジー最適化は、航空宇宙、機械、生化学、土木工学の分野で幅広い用途があります。現在、エンジニアは主に設計プロセスの概念レベルでトポロジー最適化を使用しています。自然に発生する自由な形状のため、結果を製造することはしばしば困難です。そのため、トポロジー最適化から生じる結果は、製造可能性のために微調整されることがよくあります。製造可能性を高めるために定式化に制約を追加することは、活発な研究分野です。場合によっては、トポロジー最適化の結果は、積層造形を使用して直接製造できます。したがって、トポロジー最適化は、積層造形の設計の重要な部分です。

トポロジー最適化問題は、最適化問題の一般的な形式で次のように記述できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underset {\rho }{\operatorname {minimize} }}&&F=F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )=\int _{\Omega } f(\mathbf {u(\rho ),\rho } )\mathrm {d} V\\&\operatorname {subject\;to} &&G_{0}(\rho )=\int _{\Omega }\rho \mathrm {d} V-V_{0}\leq 0\\&&&G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\ rho )\leq 0{\text{ with }}j=1,...,m\end{aligned}}}$

問題の説明には次の内容が含まれます。

• 目的関数 。この関数は、最高のパフォーマンスを得るために最小化される量を表します。最も一般的な目的関数はコンプライアンスです。コンプライアンスを最小化すると、構造の剛性が最大化されます。${\displaystyle F(\mathbf {u(\rho ),\rho } )}$
• 問題変数としての物質分布。これは、各位置における物質の密度によって記述されます。物質が存在する場合は 1 で示され、存在しない場合は 0 で示されます。は、に応じて線形または非線形の状態方程式を満たす状態フィールドです。${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} (\mathbf {\rho } )}$${\displaystyle \rho}$
• 設計空間。これは、設計が存在できる許容範囲を示します。組み立てとパッケージングの要件、人間とツールのアクセシビリティは、この空間を特定する際に考慮する必要がある要素の一部です。設計空間の定義により、最適化の過程で変更できないモデル内の領域またはコンポーネントは、非設計領域と見なされます。${\displaystyle (\Omega )}$
• ${\displaystyle \scriptstyle m}$ 制約は、 ソリューションが満たさなければならない特性です。例としては、分配される材料の最大量 (体積制約) や最大応力値などがあります。${\displaystyle G_{j}(\mathbf {u} (\rho ),\rho )\leq 0}$

評価には多くの場合、微分方程式を解くことが含まれます。これらの方程式には既知の解析解がないため、 これは有限要素法を使用して最も一般的に行われます。${\displaystyle \mathbf {u(\rho )} }$

トポロジー最適化問題を解決するために使用されてきたさまざまな実装方法があります。

離散的な意味でのトポロジー最適化問題の解決は、設計領域を有限要素に離散化することによって行われます。これらの要素内の材料密度は、問題の変数として扱われます。この場合、材料密度が 1 であれば材料が存在することを示し、0 であれば材料が存在しないことを示します。設計の達成可能なトポロジーの複雑さは要素の数に依存するため、要素の数が多い方が望ましいです。有限要素の数が多いと達成可能なトポロジーの複雑さは増加しますが、コストがかかります。まず、FEM システムを解くのにコストがかかります。次に、多数の (数千の要素は珍しくありません) 離散変数を複数の制約とともに処理できるアルゴリズムは利用できません。さらに、それらはパラメータの変化に非現実的なほど敏感です。^[1]文献では、最大 30000 個の変数を持つ問題が報告されています。^[2]

前述のように、バイナリ変数を使用してトポロジー最適化問題を解くことは複雑であるため、コミュニティでは他のオプションの探索が行われています。1 つは、連続変数による密度のモデル化です。材料の密度は、0 から 1 の間の値もとることができます。大量の連続変数と複数の制約を処理できる勾配ベースのアルゴリズムが利用可能です。ただし、材料特性は連続設定でモデル化する必要があります。これは補間によって行われます。最も実装されている補間方法の 1 つは、ペナルティ法による固体等方性材料(SIMP) です。^{[3] [4]}この補間は、本質的にはべき乗法則 です。材料のヤング率をスカラー選択フィールドに補間します。ペナルティ パラメータの値は、通常 の間で取られます。これは、材料の微細構造を確認するために示されています。^[5] SIMP 法では、密度がゼロになったときに目的関数の導関数がゼロでないことを確認するために、ヤング率の下限 が追加されます。ペナルティ係数が高くなるほど、SIMPは非バイナリ密度の使用においてアルゴリズムにペナルティを課します。残念ながら、ペナルティパラメータは非凸性も導入します。^[6]${\displaystyle E\;=\;E_{0}\,+\,\rho ^{p}(E_{1}-E_{0})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\,3]}$${\displaystyle E_{0}}$

市場には、商用のトポロジー最適化ソフトウェアがいくつかあります。そのほとんどは、トポロジー最適化を最適な設計がどのようになるかのヒントとして使用しており、手動でのジオメトリの再構築が必要です。積層造形に適した最適な設計を生成するソリューションはいくつかあります。

剛性構造とは、特定の境界条件が与えられた場合に、変位が最小となる構造です。変位の全体的な尺度は、規定の境界条件下における構造のひずみエネルギー(コンプライアンスとも呼ばれる) です。ひずみエネルギーが低いほど、構造の剛性は高くなります。したがって、問題の目的関数は、ひずみエネルギーを最小化することです。

大まかに言えば、材料が多いほど、荷重に耐える材料が増えるため、たわみが少なくなると想像できます。したがって、最適化には反対の制約、つまり体積制約が必要です。これは実際にはコスト要因であり、材料に多額の費用をかけたくないからです。使用される材料の合計を取得するには、体積に対する選択フィールドの積分を行うことができます。

最後に、弾性を支配する微分方程式を代入して、最終的な問題ステートメントを取得します。

${\displaystyle \min _{\rho }\;\int _{\Omega }{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } :\mathbf {\varepsilon } \,\mathrm {d} \オメガ}$

以下を条件とする:

• ${\displaystyle \rho \,\in \,[0,\,1]}$
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} \Omega \;\leq \;V^{*}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\sigma } \,+\,\mathbf {F} \;=\;{\mathbf {0} }}$
• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } \;=\;{\mathsf {C}}:\mathbf {\varepsilon } }$

しかし、次のような問題のため、このような問題を有限要素フレームワークで直接実装することは依然として不可能です。

1. メッシュ依存性—メッシュ依存性とは、あるメッシュで得られたデザインが、別のメッシュで得られるデザインとは異なることを意味します。メッシュが洗練されるにつれて、デザインの特徴はより複雑になります。^[7]
2. 数値的不安定性—チェス盤の形で領域を選択する。^[8]

^これらの問題のいくつかを軽減するために、画像処理に基づくフィルタリングなどの技術が現在使用されています。長い間、これは純粋にヒューリスティックなアプローチであるように思われていましたが、これらの方法の物理的な意味をサポートするために、非局所弾性との理論的なつながりが築かれてきました。^[10]

流体構造相互作用は強く結合した現象であり、静止または移動する流体と弾性構造との相互作用に関係します。多くの工学アプリケーションと自然現象は流体構造相互作用の影響を受けるため、このような影響を考慮することは多くの工学アプリケーションの設計において重要です。流体構造相互作用問題のトポロジー最適化は、例えば参考文献^{[11] [12] [13]}や^[14]で研究されています。異なるレイノルズ数に対して解決された設計ソリューションを以下に示します。設計ソリューションは流体の流れに依存し、流体と構造の結合が設計問題で解決されていることを示しています。

熱電気は半導体材料における電気エネルギーと熱エネルギーの相互作用と結合に関するマルチフィジックス問題です。熱電気エネルギーの変換は、ゼーベック効果とペルチェ効果という2つの別々に識別される効果で説明できます。ゼーベック効果は熱エネルギーから電気エネルギーへの変換に関係し、ペルチェ効果は電気エネルギーから熱エネルギーへの変換に関係します。^[15]トポロジー最適化手法を使用して2つの熱電材料を2次元設計空間に空間的に分散させることにより、^[16]熱電冷却器と熱電発電機の構成熱電材料の性能を上回ることが可能です。^[17]

3D プリンター技術の最近の普及により、デザイナーやエンジニアは新製品を設計する際にトポロジー最適化技術を利用できるようになりました。3D プリントとトポロジー最適化を組み合わせることで、軽量化、構造性能の向上、設計から製造までのサイクルの短縮が実現できます。設計は効率的ですが、従来の製造技術では実現できない可能性があります。^{[引用が必要]}

内部接触は、第3媒質接触法を適用することでトポロジー最適化に含めることができます。^{[18] [19] [20]}第3媒質接触法（TMC）は、連続かつ微分可能な暗黙的な接触定式化です。このため、TMCは勾配ベースのトポロジー最適化アプローチでの使用に適しています。

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• Schramm, Uwe; Zhou, Ming (2006)。「トポロジー最適化の商用実装における最近の開発」。構造、機械、材料のトポロジー設計最適化に関する IUTAM シンポジウム。固体力学とその応用。第 137 巻。Springer。pp. 239–248。doi : 10.1007 /1-4020-4752-5_24。ISBN 978-1-4020-4729-9。
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• トポロジー最適化アニメーション