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- この記事では数値計算法の構成要素を扱います。位相幾何学における粗い空間については、粗い構造を参照してください。
数値解析において、粗い問題とは、与えられたより大きな方程式系の解を求める反復法で使用される補助的な方程式系です。粗い問題は基本的に同じ問題の解像度を下げたバージョンであり、本質的な特性は保持されますが、変数は少なくなります。粗い問題の目的は、情報を問題全体にグローバルに伝播させることです。
偏微分方程式のマルチグリッド法では、粗い問題は通常、より粗いグリッド（通常は有限差分法）上の同じ方程式の離散化として、または粗い空間と呼ばれる部分空間上のガラーキン近似によって得られます。有限要素法では、通常ガラーキン近似が使用され、粗い空間は同じ領域上のより大きな要素によって生成されます。通常、粗い問題は2倍または3倍粗いグリッドに対応します。
粗い空間（粗いモデル、代理モデル）は、計算集約型のエンジニアリングモデリングおよび設計問題を解決するための空間マッピングの概念を活用するアルゴリズムと方法論のバックボーンです。 [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]空間マッピングでは、細かいまたは高忠実度（高解像度、計算集約型）モデルを使用して、適切な粗いモデルを調整または再調整（または積極的な空間マッピングの場合のようにオンザフライで更新）します。更新された粗いモデルは、代理モデルまたはマップされた粗いモデルと呼ばれることがよくあります。これにより、設計の調査や設計の最適化で、基礎となる粗いモデルを高速かつより正確に利用できるようになります。
領域分割法では、粗い問題の構築はマルチグリッド法と同じ原理に従いますが、より粗い問題には未知数がはるかに少なく、一般にサブドメインまたはサブ構造ごとに 1 つまたは少数の未知数しかありません。また、粗い空間は元の有限要素空間とはまったく異なるタイプになることがあります (例:平衡領域分割での平均化による区分定数、またはBDDCのエネルギー極小関数から構築)。ただし、 FETIでの粗い問題の構築は、元の問題のガラーキン近似として得られないという点で異なります。
代数的マルチグリッド法、および数理経済学とマルコフ連鎖における反復集約法では、粗い問題は一般に部分空間上のガラーキン近似によって得られます。数理経済学では、粗い問題は製品または産業をより少ない変数の粗い記述に集約することによって得られます。マルコフ連鎖では、状態を集約することによって粗いマルコフ連鎖が得られます。
粗い問題のない楕円偏微分方程式に対するマルチグリッド法と領域分割法の収束速度は、メッシュ ステップの減少 (または要素サイズの減少、サブドメインまたはサブ構造の数の増加) とともに低下するため、スケーラブルなアルゴリズムには粗い問題が必要になります。
参考文献
- ^ JW Bandler、RM Biernacki、SH Chen、PA Grobelny、RH Hemmers、「電磁気最適化のための空間マッピング技術」、IEEE Trans. Microwave Theory Tech.、vol. 42、no. 12、pp. 2536–2544、1994年12月。
- ^ JW Bandler、RM Biernacki、SH Chen、RH Hemmers、および K. Madsen、「積極的な空間マッピングを活用した電磁気最適化」、IEEE Trans. Microwave Theory Tech.、vol. 43、no. 12、pp. 2874–2882、1995 年 12 月。
- ^ AJ Booker、JE Dennis, Jr.、PD Frank、DB Serafini、V. Torczon、MW Trosset、「サロゲートによる高価な関数の最適化のための厳密なフレームワーク」、Structural Optimization、vol. 17、no. 1、pp. 1–13、1999年2月。
- ^ JW Bandler、Q. Cheng、SA Dakroury、AS Mohamed、MH Bakr、K. Madsen、J. Søndergaard、「空間マッピング：最新技術」、IEEE Trans. Microwave Theory Tech.、vol. 52、no. 1、pp. 337–361、2004年1月。
- ^ TD Robinson、MS Eldred、KE Willcox、および R. Haimes、「可変パラメータ化と修正された空間マッピングを備えたマルチフィデリティモデルを使用したサロゲートベースの最適化」、AIAA Journal、vol. 46、no. 11、2008 年 11 月。
- ^ M. Redhe および L. Nilsson、「空間マッピング技術を使用した衝撃荷重にさらされた新型 Saab 9-3 の最適化」、Structural and Multidisciplinary Optimization、vol. 27、no. 5、pp. 411-420、2004 年 7 月。
- ^ JE Rayas-Sanchez、「ASM によるシンプルさのパワー: 20 年にわたる開発とエンジニアリング アプリケーションにおけるアグレッシブ空間マッピング アルゴリズムの追跡」、IEEE Microwave Magazine、vol. 17、no. 4、pp. 64–76、2016 年 4 月。
- ^ JW Bandler および S. Koziel「電磁気学ベースの設計最適化の進歩」、IEEE MTT-S Int. Microwave Symp. Digest (サンフランシスコ、カリフォルニア州、2016 年)。
- Jan Mandelと Bedrich Sousedik、「Coarse space over the age」、第 19 回国際領域分割会議、Springer-Verlag、2009 年提出。arXiv:0911.5725
- Olof B. Widlund、「ドメイン分割アルゴリズムのための粗い空間の開発」、Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVIII、Bercovier, M.、Gander, MJ、Kornhuber, R.、Widlund, O. (編)、Lecture Notes in Computational Science and Engineering 70、Springer-Verlag、2009、Proceedings of 18th International Conference on Domain Decomposition、エルサレム、イスラエル、2008 年 1 月、doi :10.1007/978-3-642-02677-5_26。