境界結び目法

数値数学では、境界ノット法 (BKM)が、境界型メッシュフリー距離関数配置方式の代替として提案されています。

標準的な有限要素法と境界要素法におけるメッシュの構築は、特に移動境界や高次元の問題では簡単ではないため、ここ数十年でメッシュフリーの数値偏微分方程式手法の研究が盛んになっています。境界ノット法は、境界要素法、基本解法、特異境界法などの基本解に基づく他の方法とは異なり、特異点を解消するための特別な技術を必要としません。BKM は、真にメッシュフリーで、スペクトル収束 (数値観測)、対称 (自己随伴偏微分方程式)、積分フリーで、習得と実装が容易です。この方法は、非常に不規則な 2D および 3D ドメインを持つヘルムホルツ方程式、拡散方程式、対流拡散方程式、ポーション方程式でテストされ、成功しています。

BKM は基本的に、距離関数、非特異一般解、および双対相互法 (DRM) を組み合わせたものです。距離関数は、BKM で DRM を介して非同次項を近似するために使用されますが、偏微分方程式の非特異一般解は、同次解の境界のみの定式化につながります。特異基本解がない場合、BKM は基本解法における物議を醸す人工境界を排除します。いくつかの予備的な数値実験では、BKM は比較的少数のノードでさまざまな線形および非線形問題に対して優れた結果を生成できることが示されています。

次の問題を考えてみます。

（１）${\displaystyle Lu=f\left(x,y\right),\ \left(x,y\right)\in \Omega }$

（２）${\displaystyle u=g\left(x,y\right),\ \left(x,y\right)\in \partial \Omega _{D}}$

（３）${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}=h\left(x,y\right),\ \ h\left(x,y\right)\in \partial \Omega _{N}}$

ここで、は微分演算子、は計算領域を表し、 はそれぞれディリクレ境界とノイマン境界を表し、および を満たす。BKMは、演算子の非特異一般解を使用して、次のように数値解を近似する。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \partial \Omega _{D}}$${\displaystyle \partial \Omega _{N}}$${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega }$${\displaystyle \partial \Omega _{D}\cap \partial \Omega _{N}=\varnothing }$${\displaystyle L}$

（4）${\displaystyle u^{*}\left(x,y\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right)}$

ここでユークリッド距離を表す一般解は ${\displaystyle r_{i}=\left\|\left(x,y\right)-\left(x_{i},y_{i}\right)\right\|_{2}}$${\displaystyle \phi \left(\cdot \right)}$

（５）${\displaystyle L\phi =0}$

境界条件（２）と（３）を満たすためにコロケーション技術を用いることで、

（6）${\displaystyle {\begin{aligned}&g\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}\phi \left(r_{i}\right),\qquad k=1,\ldots ,m_{1}\\&h\left(x_{k},y_{k}\right)=\sum \limits _{i=1}^{N}\alpha _{i}{\frac {\partial \phi \left(r_{i}\right)}{\partial n}},\qquad k=m_{1}+1,\ldots ,m\\\end{aligned}}}$

ここで、と はそれぞれディリクレ境界とノイマン境界に位置する共点を表す。未知の係数は上記の式(6)によって一意に決定できる。そして、計算領域の任意の位置におけるBKM解は、定式化(4)によって評価できる。 ${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=1}^{m_{1}}}$${\displaystyle \left(x_{k},y_{k}\right)|_{k=m_{1}+1}^{m}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

境界要素法(BEM)は、その次元縮小性により、無限領域、薄壁構造、逆問題に対する有限要素法(FEM) や有限体積法(FVM) の代替法であることが長い間注目されてきました。しかし、BEM の主なボトルネックは、特異基本解の積分を評価し、表面メッシュまたは再メッシュを生成するために計算コストがかかることです。基本解法 (MFS) ^[1]は、これらの欠点を軽減するためにここ 10 年間に登場し、ますます注目を集めています。MFS は積分フリー、スペクトル収束、メッシュフリーです。

名前が示すように、MFS では支配方程式の基本解が基底関数として使用されます。基本解の特異性を回避するために、物理領域外の人工境界が必要であり、このような架空の境界は計算の不安定性を引き起こす可能性があるため、MFS の広範な使用における大きなボトルネックとなっていました。BKM は、メッシュと人工境界を使用しない境界型メッシュフリー法の一種として分類されます。

BKM はそれ以来、幅広くテストされてきました。^[2]では、 BKM を使用してラプラス方程式、ヘルムホルツ方程式、および可変パラメータ ヘルムホルツ方程式を解きます。^[3]では、 Fasshauer の Hermite RBF 補間との類推により、混合境界条件がある場合の対称 BKM スキームが提案されています。^[4]では、均質ヘルムホルツ、修正ヘルムホルツ、および対流拡散問題の解析における BKM の収束について数値調査が行われています。^[5]では、BKM を使用して 2 次元および 3 次元のヘルムホルツ問題と対流拡散問題の複雑な形状を処理しています。^[6]では、混合型境界条件下での膜振動が対称境界結び目法によって調査されています。^[7]では、 BKM がいくつかの逆ヘルムホルツ問題に適用されます。^[8]では、 BKM がポアソン方程式を解きます。^[9]では、 BKMはコーシー逆不同次ヘルムホルツ方程式を計算します。^[10]では、 BKMは測地線距離を介して異方性問題をシミュレートします。^{[11] [12]}では、条件数、有効条件数、および正則化の関係が調査されます。^[13]では、非線形機能傾斜材料の熱伝導がBKMによって調べられます。^[14]では、BKMは非線形アイコナール方程式を解くためにも使用されます。

• 根本解決法
• 正規化メッシュフリー法
• 境界粒子法
• 特異境界法

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• 例示的な Matlab コードと幾何学的構成