Finite element method in structural mechanics

The finite element method (FEM) is a powerful technique originally developed for the numerical solution of complex problems in structural mechanics, and it remains the method of choice for analyzing complex systems. In FEM, the structural system is modeled by a set of appropriate finite elements interconnected at discrete points called nodes. Elements may have physical properties such as thickness, coefficient of thermal expansion, density, Young's modulus, shear modulus and Poisson's ratio.

The origin of the finite element method can be traced to the matrix analysis of structures ^[1][2] where the concept of a displacement or stiffness matrix approach was introduced. Finite element concepts were developed based on engineering methods in the 1950s. The finite element method obtained its real impetus in the 1960s and 1970s by John Argyris, and co-workers; at the University of Stuttgart, by Ray W. Clough; at the University of California, Berkeley, by Olgierd Zienkiewicz, and co-workers Ernest Hinton, Bruce Irons;^[3] at the University of Swansea, by Philippe G. Ciarlet; at the University of Paris; at Cornell University, by Richard Gallagher and co-workers. The original works such as those by Argyris ^[4] and Clough ^[5] became the foundation for today's finite element structural analysis methods.

• One-dimensional straight or curved elements with physical properties such as axial, bending, and torsional stiffnesses. This type of element is suitable for modeling cables, braces, trusses, beams, stiffeners, grids and frames. Straight elements usually have two nodes, one at each end, while curved elements require at least three nodes including the end-nodes. The elements are positioned at the centroidal axis of the actual members.
• 平面応力と平面ひずみによって面内力のみに抵抗する2次元要素と、横せん断と曲げ作用によって横荷重に抵抗する板（板とシェル）があります。これらは、平らな三角形や曲線状の三角形、四角形など、さまざまな形状をとることができます。節点は通常、要素の角に配置されますが、精度を高めるために、要素の辺に沿って、あるいは要素内部にも節点を追加することができます。要素は、実際の層厚の中間面に配置されます。
• 膜、厚板、シェル、固体などの軸対称問題に対応するトーラス形状の要素。要素の断面形状は、前述のタイプと同様で、薄板やシェルには一次元、固体、厚板、シェルには二次元となる。
• 機械部品、ダム、堤防、土塊などの3次元立体をモデル化するための3次元要素。一般的な要素形状には、四面体と六面体があります。節点は頂点に配置され、要素の面上、または要素内部に配置される場合もあります。

アプリケーションの観点からは、システムを以下のようにモデル化することが重要です。

• モデルのサイズを縮小するために、対称性または反対称性の条件が利用される。
• 節点において、必要な不連続性を含めた変位の適合性が確保され、特に隣接する要素の種類、材質、厚さが異なる場合には、要素のエッジに沿っても適合性が確保されることが望ましい。多数の節点の変位の適合性は、通常、拘束関係によって課すことができる。
• 要素の挙動は、局所的にも全体的にも、実際のシステムの主要な動作を捉えていなければならない。
• 要素メッシュは、許容できる精度を得るために十分な細かさが必要です。精度を評価するには、重要な結果にほとんど変化が見られなくなるまでメッシュを細分化します。より高い精度を得るには、要素のアスペクト比をできるだけ1に近づけ、応力勾配が大きい部分にはより小さな要素を使用します。
• 適切な支持制約が課せられ、特に対称軸上の節点には注意が払われる。

大規模な商用ソフトウェアパッケージには、メッシュ生成機能や、入力および出力のグラフィカル表示機能が備わっていることが多く、これにより入力データの検証と結果の解釈が大幅に容易になる。

有限要素法（FEM）の理論は様々な視点や重点で提示されるが、構造解析におけるその発展は、仮想仕事の原理または最小全ポテンシャルエネルギーの原理を通じたより伝統的なアプローチに従っている。仮想仕事の原理のアプローチは、線形および非線形材料挙動の両方に適用できるため、より一般的である。仮想仕事法はエネルギー保存則の表現であり、保存系の場合、一連の印加力によって系に加えられる仕事は、構造構成要素のひずみエネルギーの形で系に蓄積されるエネルギーに等しい。

構造システムにおける仮想変位の原理は、外部仮想仕事と内部仮想仕事の数学的な同一性を表す。

言い換えれば、外部の力によってシステムに対して行われる仕事の総和は、システムを構成する要素にひずみエネルギーとして蓄えられる仕事に等しい。

上記の式の右辺の仮想内部仕事は、個々の要素で行われた仮想仕事を合計することで求められます。後者には、各要素の応答を記述する力-変位関数を使用する必要があります。したがって、構造の変位は、個々の（離散的な）要素の応答をまとめて記述します。方程式は、システム全体（連続体）の応答を記述する単一の方程式ではなく、構造の個々の要素の小さな領域に対してのみ記述されます。後者は扱いが困難な問題となるため、有限要素法が有用です。後続のセクションで示すように、式（1）は、システムの次の支配平衡方程式につながります。

どこ

${\displaystyle \mathbf {R} }$= 節点力ベクトル。システムの節点に作用する外力を表す。

${\displaystyle \mathbf {K} }$= システム剛性行列。これは、個々の要素の剛性行列の集合的な効果です 。${\displaystyle \mathbf {k} ^{e}}$。

${\displaystyle \mathbf {r} }$= システムの節点変位のベクトル。

$\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= 等価節点力ベクトル。これは、前述の節点力ベクトルRに既に含まれている節点力以外のすべての外部効果を表します。これらの外部効果には、分布または集中した表面力、体積力、熱効果、初期応力およびひずみなどが含まれる場合があります。

支持部の拘束条件を考慮すると、節点変位は、線形方程式系（2）を解くことによって求められます。記号的に表すと次のようになります。

続いて、個々の要素におけるひずみと応力は、以下のように求められる。

どこ

$\displaystyle \mathbf {q} }$= 節点変位のベクトル -検討対象の要素に関連するシステム変位ベクトルrの部分集合。

${\displaystyle \mathbf {B} }$=要素内の任意の点における節点変位q をひずみに変換するひずみ-変位行列。

${\displaystyle \mathbf {E} }$= 要素内の任意の点における有効ひずみを応力に変換する弾性行列。

$\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$= 要素内の初期ひずみのベクトル。

${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$= 要素内の初期応力のベクトル。

仮想仕事方程式（1）をシステムに適用することにより、要素行列を確立することができます。${\displaystyle \mathbf {B} }$、${\displaystyle \mathbf {k} ^{e}}$システム行列を組み立てる手法も同様です。$\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$そして${\displaystyle \mathbf {K} }$.その他の行列、例えば$\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$、${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$、${\displaystyle \mathbf {R} }$そして${\displaystyle \mathbf {E} }$ これらは既知の値であり、データ入力から直接設定できます。

させて$\displaystyle \mathbf {q} }$は、典型的な要素の節点変位のベクトルとする。要素の他の任意の点における変位は、補間関数を用いて次のように求めることができる。記号で表すと次のようになる。

どこ

${\displaystyle \mathbf {u} }$= 要素の任意の点 {x,y,z} における変位のベクトル。

${\displaystyle \mathbf {N} }$＝補間関数として機能する形状関数の行列。

式（6）は、他にも非常に興味深い量を生み出す。

• 仮想節点変位の関数である仮想変位：
• 要素の節点の変位によって生じる要素内のひずみ：

  どこ${\displaystyle \mathbf {D} }$=線形弾性理論を用いて変位をひずみに変換する微分演算子の行列。式( 7 )は、 ( 4 )の行列Bが

• 要素の仮想節点変位と一致する仮想ひずみ：

典型的な体積要素の場合${\displaystyle V^{e}}$仮想変位による内部仮想仕事は、（5）と（9）を（1）に代入することによって得られる。

すべての要素について内部仮想仕事( 14 )を合計すると、( 1 )の右辺が得られる。

（ １ ）式の左辺を考慮すると、システムの外部仮想仕事は以下から構成される。

• 節点力Rによって行われる仕事：
• 外部勢力によって行われた作業${\displaystyle \mathbf {T} ^{e}}$その部分で${\displaystyle \mathbf {S} ^{e}}$要素の端や表面、および体積力によって${\displaystyle \mathbf {f} ^{e}}$

  ${\displaystyle \sum _{e}\int _{S^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\sum _{e}\int _{V^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  （6b）を代入すると次のようになる。

  ${\displaystyle \delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  または

  ここで、以下に定義する追加の要素行列を導入しました。

  ここでも、数値積分はそれらの評価に便利です。同様に、 ( 17a )のqをrに置き換えると、ベクトルを並べ替えて展開した後、次のようになります。${\displaystyle \mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}}$:

（16）と（17b）を足し合わせ、その合計を（15）と等しくすると、次の式が得られる。 ${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}}$

仮想変位以来${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} }$が任意である場合、前述の等式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

（２）との比較から、以下のことがわかる。

• システムの剛性行列は、各要素の剛性行列を合計することによって得られます。

  ${\displaystyle \mathbf {K} =\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}}$

• 等価節点力ベクトルは、要素の荷重ベクトルを合計することによって得られます。

  ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}=\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

実際には、要素行列は拡張も再配置もされません。代わりに、システムの剛性行列は${\displaystyle \mathbf {K} }$個々の係数を加算することによって組み立てられる${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$に${\displaystyle {K}_{kl}}$ここで添え字 ij、kl は要素の節点変位を意味します。${\displaystyle {q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}}$システムの節点変位とそれぞれ一致する${\displaystyle {r}_{k},{r}_{l}}$同様に、${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$個々の係数を加算することによって組み立てられる${\displaystyle {Q}_{i}^{e}}$に${\displaystyle {R}_{k}^{o}}$どこ${\displaystyle {q}_{i}^{e}}$マッチ${\displaystyle {r}_{k}}$この直接追加${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$の中へ${\displaystyle {K}_{kl}}$この手順は直接剛性法と呼ばれる。

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