シナリオ最適化

シナリオアプローチまたはシナリオ最適化アプローチは、制約のサンプルに基づいて、ロバスト最適化問題および確率制約最適化問題のソリューションを取得する手法です。また、モデリングと意思決定における帰納的推論にも関連しています。この手法は、ヒューリスティックアプローチとして数十年にわたって存在しており、最近では体系的な理論的基礎が与えられています。

最適化において、堅牢性の特徴は、問題の不確実な要素によってパラメータ化された制約に変換されます。シナリオ法^{[1] [2] [3]では、}シナリオと呼ばれる制約のランダムサンプル（ヒューリスティックアプローチ）のみを調べることによってソリューションが得られ、深く根拠のある理論によって、対応するソリューションが他の制約とどの程度「堅牢」であるかがユーザーに伝えられます。この理論は、堅牢で機会制約のある最適化における ランダム化の使用を正当化します。

シナリオは、モデルからのランダム抽出として得られることもあります。しかし、多くの場合、シナリオは、観察として得られる不確実な制約のインスタンスです (データ駆動型科学)。後者の場合、シナリオを生成するために不確実性のモデルは必要ありません。さらに、最も注目すべきは、この場合もシナリオ最適化には本格的な理論が伴うことです。これは、すべてのシナリオ最適化の結果が分布フリーであるため、不確実性のモデルが利用できない場合でも適用できるためです。

凸制約（例えば、半正定値問題、LMI（線形行列不等式）を含む）の場合、新しい制約が満たされない確率はベータ分布に支配される分布に従うことを示す詳細な理論的分析が確立されています。この結果は、凸問題の全クラスに対して正確であるため厳密です。^[3]より一般的には、さまざまな経験的レベルが、周辺がベータ分布であるディリクレ分布に従うことが示されています。 ^[4]正則化によるシナリオアプローチも検討されており、^[5]計算の複雑さを軽減した便利なアルゴリズムが利用可能です。^[6]より複雑で非凸なセットアップへの拡張は、現在も活発に調査されています。 ${\displaystyle L_{1}}$

シナリオアプローチに沿って、リスクとリターンのトレードオフを追求することも可能です。^{[7] [8]} さらに、本格的な方法を使用して、このアプローチを制御に適用することができます。^[9]最初に制約がサンプリングされ、次にユーザーは制約のいくつかを順番に削除し始めます。 これは、貪欲アルゴリズムに従っても、さまざまな方法で実行できます。 さらに1つの制約が削除された後、最適ソリューションが更新され、対応する最適値が決定されます。 この手順が進むにつれて、ユーザーは経験的な「値の曲線」、つまり、削除された制約の数が増えた後に達成された値を表す曲線を作成します。 シナリオ理論は、さまざまなソリューションがどれだけ堅牢であるかを正確に評価します。 ${\displaystyle N}$

最近の待機判断アプローチによって、理論の目覚ましい進歩が確立されました。^[10]解決策の複雑さ (参照記事で正確に定義されている) を評価し、その値から解決策の堅牢性に関する正確な評価を策定します。これらの結果は、複雑さとリスクの概念の間に深く根ざしたつながりを明らかにします。「反復シナリオ設計」と呼ばれる関連するアプローチは、シナリオ設計フェーズ (サンプル数を減らした) と、その後の解決策の実現可能性のランダムチェックを繰り返し交互に行うことで、解決策のサンプルの複雑さを減らすことを目的としています。^[11]

投資の収益を表す関数を考えてみましょう。これは、投資選択のベクトルと、投資期間の終了時に経験される 市場の状態に依存します。${\displaystyle R_{\delta }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta}$

市場状況の確率モデルが与えられた場合、考えられる状態（不確実性のランダム化）を考慮します。あるいは、シナリオは観察記録から取得することもできます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \delta _{1},\dots ,\delta _{N}}$${\displaystyle \delta_{i}}$

シナリオ最適化プログラムの解決に着手しました

${\displaystyle \max_{x}\min_{i=1,\dots,N}R_{\delta_{i}}(x).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)}$

これは、最悪のシナリオで可能な限り最高のリターンが得られるようにポートフォリオベクトルxを選択することに相当する。 ^{[12] [13]}

(1)を解くと、最適な投資戦略とそれに対応する最適な収益が達成されます。 は可能な市場状態のみを見て得られましたが、シナリオ理論によれば、この解はレベル まで堅牢であり、つまり、他の市場状態に対しても確率 で収益が達成されます。 ${\displaystyle x^{\ast}}$${\displaystyle R^{\ast}}$${\displaystyle R^{\ast}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle R^{\ast}}$${\displaystyle 1-\varepsilon }$

定量的金融では、最悪のケースのアプローチは過度に保守的になる可能性がある。1つの代替案は、悲観論を減らすためにいくつかの奇妙な状況を除外することです。^[7]さらに、シナリオ最適化はCVaR（Conditional Value at Risk）を含む他のリスク指標にも適用できるため、その使用の柔軟性が高まります。^[14]

応用分野には、予測、システム理論、回帰分析（ 特に区間予測モデル）、保険数理科学、最適制御、金融数学、機械学習、意思決定、サプライチェーン、管理などがあります。