FTCS制度

数値解析において、FTCS（前方時間中心空間）法は、熱方程式や同様の放物型偏微分方程式を数値的に解くために使用される有限差分法です。^{[ 1 ]}これは時間に関して1次法であり、時間に関して陽的であり、熱方程式に適用した場合、条件付きで安定しています。移流方程式、あるいはより一般的には双曲型偏微分方程式の解法として使用する場合、人工粘性を含めない限り不安定です。FTCSという略語は、パトリック・ローチによって初めて使用されました。^{[ 2 ] [ 3 ]}

FTCS法は、時間方向の前進オイラー法（そのため「前進時間」）と空間方向の中心差分法（そのため「中心空間」）に基づいており、時間方向の1次収束と空間方向の2次収束を実現します。例えば、1次元の場合、偏微分方程式が次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=F\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

それから、${\displaystyle u(i\,\Delta x,n\,\Delta t)=u_{i}^{n}\,}$前進オイラー法は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=F_{i}^{n}\left(u,x,t,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

機能${\displaystyle F}$空間的に中心差分スキームで離散化する必要がある。これは陽解法であり、つまり、${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$の値が であれば、明示的に計算できます (代数方程式系を解く必要はありません)。${\displaystyle u}$前回のタイムレベルで${\displaystyle (n)}$既知である。FTCS法は明示的な方法であるため、計算コストが低い。

FTCS法は拡散問題によく適用されます。例として、1次元熱方程式の場合、

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

FTCS制度は次のように定義される。

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=\alpha {\frac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{\Delta x^{2}}}}$

または、${\displaystyle r={\frac {\alpha \,\Delta t}{\Delta x^{2}}}}$:

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+r\left(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}\right)}$

フォン・ノイマン安定性解析を用いて導出されたように、一次元熱方程式に対するFTCS法は、以下の条件が満たされる場合に限り数値的に安定である。

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {\Delta x^{2}}{2\alpha }}.}$

つまり、${\displaystyle \Delta x}$そして${\displaystyle \Delta t}$FTCS スキームが安定するためには、上記の条件を満たす必要があります。2 次元では、条件は次のようになります。

${\displaystyle \Delta t\leq {\frac {1}{2\alpha \left({\frac {1}{\Delta x^{2}}}+{\frac {1}{\Delta y^{2}}}\right)}}.}$

私たちが選ぶなら${\textstyle h=\Delta x=\Delta y=\Delta z}$すると、安定性条件は次のようになる。${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(2\alpha )}$、${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(4\alpha )}$、 そして${\textstyle \Delta t\leq h^{2}/(6\alpha )}$それぞれ1次元、2次元、3次元のアプリケーション向けである。^{[ 4 ]}

FTCS法の大きな欠点は、拡散係数が大きい問題の場合、${\displaystyle \alpha }$適切なステップサイズであっても、実用的には小さすぎる場合がある。

双曲型偏微分方程式の場合、線形テスト問題は定数係数 移流方程式であり、放物型微分方程式の正しい選択である熱方程式（または拡散方程式）とは異なります。これらの双曲型問題では、任意の選択で ${\displaystyle \Delta t}$不安定な計画につながる。^{[ 5 ]}

• 偏微分方程式
• クランク・ニコルソン法
• 有限差分時間領域法