エネルギードリフト

機械システムのコンピュータ シミュレーションでは、エネルギー ドリフトは、時間の経過に伴う閉鎖システムの全エネルギーの段階的な変化です。力学の法則によれば、エネルギーは運動定数であり、変化しないはずです。ただし、シミュレーションでは、有限の時間ステップ Δ tの使用によって生じる数値積分アーティファクトにより、エネルギーは短期間で変動し、非常に長期間で増加または減少する可能性があります。これは、エネルギーの等分割を処理する際の数値エラーによって振動エネルギーが並進エネルギーに変わる可能性がある、 空飛ぶ氷キューブ問題に似ています。

より具体的には、エネルギーは指数関数的に増加する傾向がある。その増加は、各ステップで真の速度v _trueに小さな摂動δ v が導入されるため直感的に理解でき、（vと相関がない場合、これは単純な積分法では真となる）エネルギーの2次的な増加をもたらす。

${\displaystyle E=\sum m\mathbf {v} ^{2}=\sum m\mathbf {v} _{\mathrm {true} }^{2}+\sum m\ \delta \mathbf {v} ^{2}}$

（相関がないため、 v · δ vの交差項はゼロになります。）

エネルギードリフト（通常は減衰）は、ルンゲ・クッタ族のようなシンプレクティックでない数値積分スキームでは重要です。ベルレ積分族のような分子動力学で通常使用されるシンプレクティック積分器は、誤差はほぼ一定のままですが、非常に長い時間スケールでエネルギーが増加します。これらの積分器は、実際にはシステムの実際のハミルトン力学を再現するわけではありません。代わりに、密接に関連した「シャドウ」ハミルトニアンを再現し、その値は桁違いに保存されます。^{[1] [2]}真のハミルトニアンのエネルギー保存の精度は、時間ステップに依存します。^{[3] [4]}シンプレクティック積分器の修正ハミルトニアンから計算されたエネルギーは、真のハミルトニアンから計算されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(\Delta t^{p}\right)}$

エネルギードリフトは、有限の離散タイムステップ方式によって、速度更新の周波数に近い周波数で運動の非物理的で制限されたサンプリングが行われるという点で、パラメトリック共振に似ています。したがって、特定のシステムで安定する最大ステップサイズの制限は、システムの動作の最も速い基本モードの周期に比例します。自然周波数ωの運動の場合、速度更新の周波数がω と次のように 関係しているときに人工共振が導入されます。${\displaystyle {\frac {2\pi }{\Delta t}}}$

${\displaystyle {\frac {n}{m}}\omega ={\frac {2\pi }{\Delta t}}}$

ここでnとmは共鳴次数を表す整数である。ヴェルレ積分では、4次までの共鳴は数値的不安定性を引き起こすことが多く、時間ステップのサイズに制限が生じる。 ${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}=4\right)}$

${\displaystyle \Delta t<{\frac {\sqrt {2}}{\omega }}\approx 0.225p}$

ここで、ωはシステムで最も速い運動の周波数、pはその周期です。^{[5]ほとんどの生体分子システムで最も速い運動は}水素原子の運動です。そのため、制約アルゴリズムを使用して水素の運動を制限し、シミュレーションで使用できる最大安定時間ステップを増やすのが一般的です。ただし、重原子の運動の時間スケールは水素の運動の時間スケールと大きくは変わらないため、実際には時間ステップを約 2 倍にしか増やせません。全原子生体分子シミュレーションでは、制約のないシミュレーションでは 1フェムト秒(fs)、制約のあるシミュレーションでは 2 fs の時間ステップを使用するのが一般的ですが、特定のシステムやパラメーターの選択によっては、より大きな時間ステップが可能な場合もあります。

エネルギー ドリフトは、エネルギー関数の評価における不完全性によっても発生する可能性があります。これは通常、計算速度のために精度を犠牲にするシミュレーション パラメータが原因です。たとえば、静電力を評価するカットオフ スキームでは、十分な平滑化が使用されていない場合、粒子がカットオフ半径を前後に移動するたびに、エネルギーに系統的誤差が生じます。粒子メッシュ エワルド和は、この影響に対する 1 つの解決策ですが、独自のアーティファクトが生じます。シミュレーション対象のシステム内のエラーによって、「爆発的」と特徴付けられるエネルギー ドリフトが発生することもあります。これはアーティファクトではありませんが、初期条件の不安定性を反映しています。これは、システムが生産ダイナミクスを開始する前に十分な構造最小化を受けていない場合に発生することがあります。実際には、エネルギー ドリフトは、時間の経過に伴うパーセント増加として、またはシステムに特定の量のエネルギーを追加するのに必要な時間として測定できます。

エネルギードリフトの実際の影響は、シミュレーション条件、シミュレートされる熱力学アンサンブル、および研究中のシミュレーションの目的によって異なります。たとえば、エネルギードリフトは、温度が一定に保たれるカノニカルアンサンブルのシミュレーションよりも、ミクロカノニカルアンサンブルのシミュレーションの方がはるかに深刻な結果をもたらします。ただし、制約とエワルド和を組み込んだ柔軟な分子のシミュレーションを含め、長いミクロカノニカルアンサンブルシミュレーションは、エネルギードリフトがほとんど発生しないことが示されています。 ^{[1] [2]エネルギードリフトは、シミュレーションの品質の尺度としてよく使用され、}タンパク質データバンクに類似した分子動力学軌道データの大量リポジトリで定期的に報告される品質メトリックの 1 つとして提案されています。^[6]

• Sanz-Serna JM、Calvo MP. (1994)。数値ハミルトン問題。Chapman & Hall、ロンドン、イギリス。