セティモデル

SethiモデルはSuresh P. Sethiによって開発され、広告に応じて時間の経過とともに売上がどのように変化するかを説明しています。^{[1] [2]}このモデルでは、売上の変化率は、市場の未販売部分にプラスに作用する広告への反応、市場の販売部分にマイナスに作用する忘却または競争要因による損失、およびどちらにもなり得るランダム効果の3つの効果に依存すると想定しています。

Suresh Sethi は1983 年に「動的広告モデルの決定論的および確率的最適化」という論文を発表しました。 ^[1] Sethi モデルは、Vidale-Wolfe 広告モデルの修正版であり、確率的拡張でもあります。^[3]このモデルとその競争的および多階層チャネル拡張は、文献で広く使用されています。^{[4] [ 5 ] [ 6 ] [7] [8 ] [9] [10] [11] [ 12] [13] [14] [15] [ 16 ] [17] [18] [19] [20] [ 21] [22 ] [23] [24 ] [25] [26] [27] [ 28] [29] [30] [31] [32] [33] [3]} さらに、これらの拡張のいくつかは経験的にテストされています。^{[6] [7] [10] [13]}

Sethi 広告モデル、または単に Sethi モデルは、次の確率微分方程式の形式で販売広告ダイナミクスを提供します。

${\displaystyle dX_{t}=\left(rU_{t}{\sqrt {1-X_{t}}}-\delta X_{t}\right)\,dt+\sigma (X_{t})\,dz_{t},\qquad X_{0}=x}$。

どこ：

• ${\displaystyle X_{t}}$当時の市場シェアは${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle U_{t}}$その時の広告率${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle r}$広告の効果の係数である
• ${\displaystyle \delta}$減衰定数
• ${\displaystyle \sigma (X_{t})}$拡散係数
• ${\displaystyle z_{t}}$はウィーナー過程（標準ブラウン運動）であり、ホワイトノイズとして知られています。${\displaystyle dz_{t}}$

売上の変化率は、3 つの効果によって決まります。つまり、 を介して市場の未販売部分にプラスに作用する広告への反応、 を介して市場の販売部分にマイナスに作用する忘却または競争要因による損失、および、どちらの方向にもなる拡散またはホワイト ノイズ項を使用したランダム効果です。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \delta}$

• この係数は広告イノベーションの有効性の係数です。${\displaystyle r}$
• 係数は減衰定数です。${\displaystyle \delta}$
• 平方根項は、少なくとも売上高が低い場合には、いわゆる口コミ効果をもたらします。^{[1] [5]}
• 拡散項はランダム効果をもたらします。${\displaystyle \sigma (X_{t})dz_{t}}$

初期市場シェアを持つ上記のSethiモデルに従って、次の目的関数を検討します。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle V(x)=\max _{U_{t}\geq 0}\;E\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}(\pi X_{t}-U_{t}^{2})\,dt\right],}$

ここで、 は市場全体に対応する売上高、つまり のとき、 は割引率を表します。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle \rho >0}$

この関数はこの問題の価値関数として知られており、^{[2]で示される。}${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle V(x)={\bar {\lambda }}x+{\frac {{\bar {\lambda }}^{2}r^{2}}{4\rho }},}$

どこ

${\displaystyle {\bar {\lambda}}={\frac {{\sqrt {(\rho +\delta )^{2}+r^{2}\pi }}-(\rho +\delta )}{r^{2}/2}}.}$

この問題の最適制御は[ ^{2]である。}

${\displaystyle U_{t}^{*}=u^{*}(X_{t})={\frac {r{\bar {\lambda }}{\sqrt {1-\ X_{t}}}}{2}}={\begin{cases}{}>{\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}}: ...$

どこ

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {r^{2}{\bar {\lambda }}/2}{r^{2}{\bar {\lambda }}/2+\delta }}}$

そして

${\displaystyle {\bar {u}}={\frac {r{\bar {\lambda }}{\sqrt {1-{\bar {x}}}}}{2}}.}$

• 競争モデル：ナッシュ微分ゲーム^{[5] [8] [9] [10] [11] [13] [14] [18] [27] [19] [30] [20] [21] [23] [24] [25]}
• 多階層モデル^[4]
• セティモデルとその拡張の実証的検証^{[6] [7] [10] [13]}
• 協力広告：シュタッケルベルグ微分ゲーム^{[4] [15] [16] [27] [19] [21] [31]}
• セティ耐久財モデル^{[17] [18] [19] [22] [23]}

• 低音拡散モデル
• 微分ゲーム
• 確率微分方程式
• イノベーションの普及
• シュタックルベルク競争
• ナッシュ均衡