ストレッチグリッド法

ストレッチグリッド法（SGM）は、弾性グリッドの挙動に関連するさまざまな数学的および工学的問題の近似解を見つけるための数値手法です。特に、気象学者は天気予報にストレッチグリッド法を使用し^{[1] 、エンジニアはテントやその他の}張力構造を設計するためにストレッチグリッド法を使用します。

近年、有限要素法と境界要素法(FEM と BEM) は、工業工学の設計と解析の主流となっています。ますます大規模で複雑な設計が、FEM または BEM を使用してシミュレーションされています。ただし、FEM と BEM の工学解析の問題の中には、依然として最先端にあるものもあります。最初の問題は、前処理段階で生成される初期データの品質に大きく依存する工学解析の信頼性です。この段階での自動要素メッシュ生成技術は、複雑な実世界のモデルの解析によく使用されるツールになっていることが知られています。^[2] FEM と BEM の人気が高まるにつれて、自動メッシュ生成アルゴリズムを改良する動機が生まれています。ただし、これらのアルゴリズムはすべて、歪んだグリッド要素や使用できないグリッド要素を作成する可能性があります。既存のメッシュを取得してその品質を改善できる技術がいくつかあります。たとえば、スムージング(メッシュ リファインメントとも呼ばれる) は、要素の歪みを最小限に抑えるようにノードの位置を再配置する方法の 1 つです。ストレッチグリッド法（SGM）は、擬似規則メッシュをワンステップソリューションで非常に簡単かつ迅速に得ることを可能にする（^[3]を参照）。

平面多角形の単一コヒーレント輪郭に埋め込まれ、自動メッシュ化手順によって生成された任意の三角形グリッドがあると仮定します (図 1 を参照)。さらに、物理的なノード システムとして考慮されるグリッドは、多数の歪みによって歪んでいると想定できます。このシステムの全ポテンシャル エネルギーは、すべてのネットワーク セグメントをコンポーネントとするいくつかの次元ベクトルの長さに比例すると想定されます。 ${\displaystyle \n}$

したがって、位置エネルギーは次の形をとる。

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}{R_{j}}^{2}}$

どこ

• ${\displaystyle \n}$- ネットワーク内のセグメントの総数、
• ${\displaystyle \R_{j}}$- セグメント番号の長さ、${\displaystyle \j}$
• ${\displaystyle \D}$- 任意の定数。

セグメント番号の長さは、2つのノード座標によって次のように表される。 ${\displaystyle \j}$

${\displaystyle \ R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}}}}$

また、すべてのノードの座標ベクトルは歪みのないネットワークに関連付けられ、座標ベクトルは歪みのあるネットワークに関連付けられていると仮定することもできます。ベクトルの式は次のように記述できます。 ${\displaystyle \{\ X\}}$${\displaystyle \{\ X'\}}$${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ X\}=\{\ X'\}+\{\Delta \ X\}}$

ベクトルの決定は、増分ベクトルによる二次形式の最小化に関連しており、すなわち ${\displaystyle \{\ X\}}$${\displaystyle \\Pi}$${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

どこ

• ${\displaystyle \l}$- 領域の内部ノードの数、
• ${\displaystyle \k}$- 座標の数

すべての変換を行った後、次の2つの独立した線形代数方程式を書くことができます。

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}}$

どこ

• ${\displaystyle [\ A]}$- FEMアセンブリの全体剛性マトリックスに類似した帯状の対称マトリックス、
• ${\displaystyle \{\Delta \ X_{1}\}}$そして- 軸1、2、${\displaystyle \{\Delta \ X_{2}\}}$
• ${\displaystyle \{\ B_{1}\}}$そして、軸 1、2 のすべてのノードの座標によって結合された右側部分のベクトル。${\displaystyle \{\ B_{2}\}}$

両方のシステムのソリューションは、すべての境界ノードを保守的に維持しながら、擬似規則的な要素を持つ歪みのないメッシュに対応する新しい内部ノード位置を取得します。たとえば、図 2 は三角形メッシュで覆われた長方形領域を示しています。初期の自動メッシュには、いくつかの退化した三角形があります (左のメッシュ)。SGM 手順によって生成された最終的なメッシュ (右のメッシュ) は、歪んだ要素のない擬似規則です。

上記のシステムは線形であるため、手順は 1 ステップのソリューションに非常に迅速に移行します。さらに、各最終内部ノード位置は、それを囲むノードの座標算術平均の要件を満たし、ドロネー基準も満たします。したがって、SGM は、ラプラシアンやその他の種類のスムージング アプローチに特有のすべての正の値を持ちますが、整数値の最終マトリックス表現により、はるかに簡単で信頼性があります。最後に、上記の SGM は、2D メッシュだけでなく、任意の均一セルで構成される 3D メッシュや、混合メッシュまたは過渡メッシュにも完全に適用できます。

数学的には、非平面の閉曲線に埋め込まれた曲面は、その曲線を通過するすべての曲面の中で面積が最小である場合に最小と呼ばれます。最もよく知られている最小曲面のサンプルは、ワイヤーフレームで囲まれた石鹸膜です。通常、最小曲面を作成するには、歪みの変化に関係なく一定のプレストレスを維持する架空の構成法則が使用されます。^[4]最小曲面問題の解決に対する代替の近似アプローチは、SGMに基づいています。この定式化により、非平面および平面の閉じた輪郭に埋め込まれた曲面を最小化できます。

このアイデアは、3D非平面輪郭に埋め込まれた表面部分を任意の三角形グリッドで近似することです。このような三角形グリッドを最小面積のグリッドに収束させるには、上記と同じ2つのシステムを解く必要があります。3番目のノード座標の増分は、次の方法で軸3の同様のシステムによってさらに決定できます。

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{3}\}=\{\ B_{3}\}}$

3 つのシステムを同時に解くと、パラメータ の関数の最小値により、非平面閉曲線に埋め込まれた近似最小面となる新しいグリッドを取得できます。 ${\displaystyle \\Pi}$${\displaystyle \j=1,2,3}$

例として、上記の方法で計算されたカテノイドの表面を図 3 に示します。リングの半径とカテノイドの高さは 1.0 です。SGM によって決定されたカテノイド表面の数値面積は 2,9967189 です (正確な値は 2.992)。

構造解析では、構造の構成は一般に事前に分かっています。ただし、テンションファブリック構造などの張力構造の場合はそうではありません。張力構造の膜には曲げ剛性がないため、膜の形状や構成は、初期のプレストレスと膜が受ける荷重によって決まります。したがって、荷重支持挙動と膜の形状は分離できず、単純な幾何学モデルのみで一般的に説明することはできません。膜の形状、構造にかかる荷重、内部応力は、平衡方程式を満たすために非線形に相互作用します。

張力構造の予備設計には、形状探索と呼ばれる初期構成の決定が含まれる。平衡条件を満たすことに加えて、初期構成は、建築的（美観）および構造的（強度および安定性）要件の両方に対応しなければならない。さらに、スペースおよびクリアランスの要件を満たす必要があり、膜の主応力はしわを避けるために引張応力でなければならず、二重曲面の半径は面外荷重に耐え、構造安定性を確保できるほど小さくなければならない（研究^[5]）。 張力織物構造の設計において技術者を支援するために、FEM に基づく形状探索アプローチのいくつかのバリエーションが開発されてきた。それらはすべて、さまざまな荷重下での張力構造の挙動を解析するために使用されるものと同じ仮定に基づいている。しかし、一部の研究者が指摘しているように、張力構造の設計では、いわゆる「極小面」を使用する方が望ましい場合がある。

SGM の物理的な意味は、任意のグリッド構造を剛体 (または弾性) 3D 輪郭に埋め込んだ場合のエネルギーを、任意のグリッド ノード間の距離の合計が最小となる最小値に収束させることです。これにより、通常の FEM 定式化よりもはるかに単純な最終的な代数方程式システムを提供するグリッド構造の合計エネルギーの最小値を求める代わりに、表面エネルギーの最小値の問題を解くことができます。SGM の一般化された定式化では、さまざまな外部効果をモデル化できる一連の外部力と剛体または弾性の制約をグリッド構造ノードに適用できることが前提となります。このような SGM 定式化については、次の式が得られます。

${\displaystyle \Pi =\sum _{j=1}^{n}D_{j}R_{j}^{2}+\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{k=1}^{m}C_{ik}\Delta X_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{m}P_{ik}\Delta X_{ik}\right)}$

どこ

• ${\displaystyle \n}$- グリッドセグメントの総数、
• ${\displaystyle \m}$- ノードの総数、
• ${\displaystyle \R_{j}}$ - セグメント番号の長さ、${\displaystyle \j}$
• ${\displaystyle \D_{j}}$- セグメント数の剛性、${\displaystyle \j}$
• ${\displaystyle \\Delta X_{ik}}$-軸上のノードの座標増分、${\displaystyle \k}$${\displaystyle \ i}$
• ${\displaystyle \C_{ik}}$-軸の節点における弾性拘束の剛性、${\displaystyle \k}$${\displaystyle \ i}$
• ${\displaystyle \P_{ik}}$-軸上のノードにおける外力。${\displaystyle \k}$${\displaystyle \ i}$

満足のいく形状が見つかったら、裁断パターンを生成できます。張力構造は、サイズ、曲率、材料の剛性が非常に多様です。裁断パターンの近似は、これらの各要素に深く関係しています。裁断パターン生成方法では、近似を最小限に抑え、信頼性の高い平面布データを生成することが不可欠です。

目的は、これらのデータによって記述される形状を、可能な限り理想的な二重湾曲ストリップに近いものにすることです。一般に、裁断パターンの生成には 2 つのステップがあります。まず、張力構造の全体表面が個々の布に分割されます。2 番目のステップで対応する裁断パターンは、各布ストリップを平面領域に展開するだけで見つかります。理想的な二重湾曲膜表面の場合、サブサーフェスを単純に展開することはできず、平坦化する必要があります。たとえば、^{[6] [7]}では、平坦化問題の解決に SGM が使用されています。

裁断パターン生成問題は、実際には 2 つの独立した定式化に細分されます。これらは、各布地ストリップを展開して歪みのない平面フォームを生成することと、単純に展開できない二重曲面を平坦化することです。この問題を注意深く調べると、微分幾何学の立場から両方の定式化が同じであることがわかります。これは、任意の曲線間の角度が不変であり、任意の領域部分が不変であるため、等角写像と等面積写像が同時に行われる平面領域への表面の等角写像と考えることができます。正確に展開できる単一曲面の場合、等面積写像により、歪みのない布地構造の裁断パターンを得ることができます。2 番目のタイプの表面は、布地の特性によって制限される線形表面要素の歪みを伴って、近似的にのみ等面積写像できます。2 つの表面がパラメータ化され、最初の二次形式が次のように記述されると 仮定します。

${\displaystyle I_{1}=E_{1}(u,v)\オペレーター名 {d} u^{2}+2F_{1}(u,v)\オペレーター名 {d} u\オペレーター名 {d} v+ G_{1}(u,v)\オペレーター名 {d} v^{2}}$

${\displaystyle I_{2}=E_{2}(u,v)\operatorname {d} u^{2}+2F_{2}(u,v)\operatorname {d} u\operatorname {d} v+G_{2}(u,v)\operatorname {d} v^{2}}$

微分幾何学で定式化される2つの曲面の 等角写像の条件は、

${\displaystyle {\sqrt {I_{2}}}=\lambda {\sqrt {I_{1}}}}$

ここで、等角写像による表面歪みの比率です。 ${\displaystyle \ \lambda }$

最初の二次形式は、2 つの表面点との距離を反映することが知られています。-ratio が 1 に近い場合、上記の式は、任意の曲線間の角度が不変であり、任意の領域が不変であるため、それぞれ等角写像の条件と等面積写像に収束します。形状検出の最初の段階は表面の三角形メッシュに基づいていることを思い出し、最小表面の平面領域への等角写像と等面積写像の記述に重み付き残差法を使用すると、曲線三角形の線分に沿った積分の合計によって定義される次の関数を書くことができます。 ${\displaystyle \ (u,v)}$${\displaystyle \ (u+\operatorname {d} u,v+\operatorname {d} v)}$${\displaystyle \ \lambda }$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda {\sqrt {I_{1}}}-{\sqrt {I_{2}}}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

どこ

• ${\displaystyle \ n}$- グリッドセルの総数、
• ${\displaystyle \ w_{j}}$- 重量比、
• ${\displaystyle \ \Pi }$ - 総マッピング残差、
• ${\displaystyle \ D}$- 最終結果に影響を与えず、スケール比として使用できる定数。

さらに重み比を考慮すると 、式を表面グリッドのノード間の直線距離の組み合わせである近似有限和に変換し、等面積表面マッピングの基本条件を次の非線形関数の最小値として記述することができます。 ${\displaystyle \ w_{j}=1}$

${\displaystyle \Pi =D\sum _{j=1}^{n}\oint _{S_{j}}w_{j}\left(\lambda R_{j}-L_{j}\right)^{2}\operatorname {d} s}$

どこ

• ${\displaystyle \ R_{j}}$- 線形セグメント番号の初期長さ、${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ L_{j}}$- セグメント番号の最終長さ、${\displaystyle \ j}$
• ${\displaystyle \ \lambda }$- 歪み率は 1 に近く、セグメントごとに異なる場合があります。

セグメント番号の最初と最後の長さは、通常通り2つのノード座標で次のように表すことができます。 ${\displaystyle \ j}$

${\displaystyle R={\sqrt {(X_{12}-X_{11})^{2}+(X_{22}-X_{21})^{2}+(X_{32}-X_{31})^{2}}}}$

${\displaystyle L={\sqrt {(x_{12}-x_{11})^{2}+(x_{22}-x_{21})^{2}}}}$

どこ

• ${\displaystyle \ X_{ik}}$- 初期セグメントのノードの座標、
• ${\displaystyle \ x_{ik}}$- 最終セグメントのノードの座標。

最初の仮定によれば、平面マッピングについては次のように書くことができる。ベクトルと座標増分項を用いた表現は次のように書くことができる。 ${\displaystyle \ x_{32}=x_{31}=0}$${\displaystyle \{\ x\}}$${\displaystyle \{\ X\}}$

${\displaystyle \{\ x\}=\{\ X\}+\{\Delta \ X\}}$

ベクトルの定義は前述の通りである ${\displaystyle \{\Delta \ X\}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi }{\partial \Delta X_{kl}}}=0}$

変換後、次の2つの独立した非線形代数方程式を書くことができます。

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{1}\}=\{\ B_{1}\}+\{\Delta P_{1}\}}$

${\displaystyle [\ A]\{\Delta X_{2}\}=\{\ B_{2}\}+\{\Delta P_{2}\}}$

ここで、システムのすべての部分は前述のように表現でき、軸1、2における擬似応力のベクトルであり、次の形式を持つ。 ${\displaystyle \{\ \Delta P_{1}\}}$${\displaystyle \{\ \Delta P_{2}\}}$

${\displaystyle \{\Delta P_{lt}\}=-\left\{\sum _{j=1}^{N}\lambda {\frac {R_{m}}{L_{m}}}(x_{lm}-x_{lt})\right\}}$

どこ

• ${\displaystyle \ N}$- ノード番号を囲むノードの総数、${\displaystyle \ t}$
• ${\displaystyle \ l}$- グローバル軸の数。

上記のアプローチは SGM の別の形式であり、標準的な反復手順で解くことができる 2 つの独立した非線形代数方程式系を取得できます。表面のガウス曲率が小さいほど、平面マッピングの精度が高くなります。通常、平面マッピングにより、最終表面の対応する空間線よりも 1～2% 小さい線形寸法のパターンを取得できます。そのため、パターン化中に適切なマージンを提供する必要があります。

カットアウト（カットアウト、ゴア（セグメント） 、またはパッチとも呼ばれる）の典型的なサンプルを図 9、10、11 に示します。

• メッシュ生成
• メッシュの種類

• 張力布構造の形状検出と裁断パターン作成のためのK3テントシステム
• クバンテント株式会社