Lehmer–Schur algorithm

In mathematics, the Lehmer–Schur algorithm (named after Derrick Henry Lehmer and Issai Schur) is a root-finding algorithm for complex polynomials, extending the idea of enclosing roots like in the one-dimensional bisection method to the complex plane. It uses the Schur-Cohn test to test increasingly smaller disks for the presence or absence of roots.

This algorithm allows one to find the distribution of the roots of a complex polynomial with respect to the unit circle in the complex plane.^[1][2][3] It is based on two auxiliary polynomials, introduced by Schur.^[4]

For a complex polynomial ${\displaystyle p}$ of degree${\displaystyle n}$ its reciprocal adjoint polynomial${\displaystyle p^{*}}$ is defined by ${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}}$ and its Schur Transform${\displaystyle Tp}$ by

${\displaystyle Tp={\overline {p(0)}}p-{\overline {p^{*}(0)}}p^{*},}$

where a bar denotes complex conjugation.

So, if ${\displaystyle p(z)=a_{n}z^{n}+\cdots +a_{1}z+a_{0}}$ with ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, then ${\displaystyle p^{*}(z)={\bar {a}}_{0}z^{n}+{\bar {a}}_{1}z^{n-1}+\cdots +{\bar {a}}_{n}}$, with leading zero-terms, if any, removed. The coefficients of ${\displaystyle Tp}$ can therefore be directly expressed in those of ${\displaystyle p}$ and, since one or more leading coefficients cancel, ${\displaystyle Tp}$ has lower degree than ${\displaystyle p}$. The roots of ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p^{*}}$, and ${\displaystyle Tp}$ are related as follows.

Lemma

Let ${\displaystyle p}$ be a complex polynomial and ${\displaystyle \delta =(Tp)(0)}$.

• The roots of ${\displaystyle p^{*}}$, including their multiplicities, are the images under inversion in the unit circle of the non-zero roots of ${\displaystyle p}$.
• If ${\displaystyle \delta \neq 0}$, then ${\displaystyle p,\,p^{*}}$, and ${\displaystyle Tp}$ share roots on the unit circle, including their multiplicities.
• If ${\displaystyle \delta >0}$, then ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle Tp}$ have the same number of roots inside the unit circle.
• If ${\displaystyle \delta <0}$, then ${\displaystyle p^{*}}$ and ${\displaystyle Tp}$ have the same number of roots inside the unit circle.

Proof

For ${\displaystyle z\neq 0}$ we have ${\displaystyle p^{*}(z)=z^{n}{\overline {p(z/|z|^{2})}}}$ and, in particular, ${\displaystyle |p^{*}(z)|=|p(z)|}$ for ${\displaystyle |z|=1}$. Also ${\displaystyle \delta \neq 0}$ implies ${\displaystyle |p(0)|\neq |p^{*}(0)|}$. From this and the definitions above the first two statements follow. The other two statements are a consequence of Rouché's theorem applied on the unit circle to the functions ${\displaystyle {\overline {p(0)}}p(z)/r(z)}$ and ${\displaystyle -{\overline {p^{*}(0)}}p^{*}(z)/r(z)}$ , where ${\displaystyle r}$ is a polynomial that has as its roots the roots of ${\displaystyle p}$ on the unit circle, with the same multiplicities. □

For a more accessible representation of the lemma, let ${\displaystyle n_{p}^{-},n_{p}^{0}}$, and ${\displaystyle n_{p}^{+}}$ denote the number of roots of ${\displaystyle p}$ inside, on, and outside the unit circle respectively and similarly for ${\displaystyle Tp}$. Moreover let ${\displaystyle d}$ be the difference in degree of ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle Tp}$. Then the lemma implies that ${\displaystyle (n_{p}^{-},\;n_{p}^{0},\;n_{p}^{+})=(n_{Tp}^{-},\;n_{Tp}^{0},\;n_{Tp}^{+}+d)}$ if ${\displaystyle \delta >0}$ and ${\displaystyle (n_{p}^{-},\;n_{p}^{0},\;n_{p}^{+})=(n_{Tp}^{+}+d,\;n_{Tp}^{0},\;n_{Tp}^{-})}$ if ${\displaystyle \delta <0}$ (note the interchange of ${\displaystyle ^{+}}$ and ${\displaystyle ^{-}}$).

Now consider the sequence of polynomials ${\displaystyle T^{k}p}$${\displaystyle (k=0,1,\ldots )}$, where ${\displaystyle T^{0}p=p}$ and ${\displaystyle T^{k+1}p=T(T^{k}p)}$. Application of the foregoing to each pair of consecutive members of this sequence gives the following result.

Theorem[Schur-Cohn test]

Let ${\displaystyle p}$ be a complex polynomial with ${\displaystyle Tp\neq 0}$ and let ${\displaystyle K}$ be the smallest number such that ${\displaystyle T^{K+1}p=0}$. Moreover let ${\displaystyle \delta _{k}=(T^{k}p)(0)}$ for ${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$ and ${\displaystyle d_{k}=\deg T^{k}p}$ for ${\displaystyle k=0,\ldots ,K}$.

• All roots of ${\displaystyle p}$ lie inside the unit circle if and only if

${\displaystyle \delta _{1}<0}$, ${\displaystyle \delta _{k}>0}$ for ${\displaystyle k=2,\ldots ,K}$, and $dK=0$.

• All roots of ${\displaystyle p}$ lie outside the unit circle if and only if

${\displaystyle \delta _{k}>0}$ for ${\displaystyle k=1,\ldots ,K}$ and $dK=0$.

• If $dK=0$ and if ${\displaystyle \delta _{k}<0}$ for ${\displaystyle k=k_{0},k_{1}\ldots k_{m}}$（昇順）${\displaystyle \delta _{k}>0}$そうでなければ、${\displaystyle p}$は単位円上に根を持たず、根の数は${\displaystyle p}$単位円の内側は

$\displaystyle \sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}d_{k_{i}-1}}$。

より一般的には、多項式の根の分布${\displaystyle p}$複素平面上の任意の円、例えば中心が${\displaystyle c}$半径${\displaystyle \rho }$は、「シフトおよびスケーリングされた」多項式にシュール・コーン検定を適用することによって見つけることができる。${\displaystyle q}$定義される${\displaystyle q(z)=p(c+\rho \,z)}$。

ただし、すべてのスケーリング係数が許容されるわけではなく、Schur-Cohn テストは多項式に適用できます。${\displaystyle q}$以下の等式のいずれも成立しない場合に限る。${\displaystyle T^{k}q(0)=0}$一部の人にとって${\displaystyle k=1,\ldots K}$または${\displaystyle T^{K+1}q=0}$その間$dK>0$. さて、多項式の係数は${\displaystyle T^{k}q}$は多項式である${\displaystyle \rho }$そして、上記の等式は、次の多項式方程式をもたらします。${\displaystyle \rho }$したがって、これは有限個の値に対してのみ成り立つ。${\displaystyle \rho }$したがって、任意の値に近い場合でも、適切なスケーリング係数を常に見つけることができます。${\displaystyle 1}$。

レーマーの方法は以下のとおりである。 ^{[ 5 ]} 与えられた複素多項式に対して${\displaystyle p}$Schur-Cohnテストでは、すべての根を含むのに十分な大きさの円盤が見つかる。${\displaystyle p}$次に、このディスクを、重なり合う小さなディスクのセットで覆うことができます。そのうちの1つは同心円状に配置され、残りのディスクはまだ覆われていない環状領域に均等に分布します。このセットから、再びテストを使用して、根を含まないディスクは、${\displaystyle p}$取り外すことができます。残りの各ディスクで、この覆いと取り外しの手順を何度でも繰り返すことができ、その結果、すべてのルートを含む任意のサイズのディスクのセットが得られます。${\displaystyle p}$。

この手法の利点は、単一の手順を繰り返すだけで済むこと、そして実数根、複素数根、単根、多根、クラスター根など、すべての根を同時に見つけることができる点です。また、既に見つかった根の削除（デフレーション）は不要で、すべてのテストは完全な精度を持つ元の多項式から始まります。さらに驚くべきことに、この多項式を評価する必要は一切ありません。

しかし、ディスクが小さくなるほど、対応する「スケーリングされた」多項式の係数の相対的な大きさが異なってしまいます。これにより、コンピュータの計算がオーバーフローまたはアンダーフローを起こし、ディスクの半径が下から制限され、計算された根の精度が低下します。 [ ^{2 ] [ 6 ]極端} なスケーリングを避けるため、または単に効率のために、まず同心円状のディスクをいくつかテストして含まれる根の数を調べ、根が発生する領域を狭い同心円状の環状領域に縮小することができます。この手順を別の中心で繰り返し、結果を組み合わせると、その領域はそのような環状領域の交点の和集合になります。 ^{[ 7 ]}最後に、単一の根を含む小さなディスクが見つかった場合、その根はニュートン法 などの他の方法を使用してさらに近似することができます。

• Wilf's global bisection algorithm – similar method which uses rectangles instead of circles