ファン・ワインガルデンの変身

数学と数値解析において、ファン・ヴィンガルデン変換は、交代級数の収束を加速するために使用されるオイラー変換の変形です。

オイラー変換を 計算するアルゴリズムの 1 つは次のように実行されます。

部分和の行を計算し、近傍間の平均の行を形成します。 最初の列には、オイラー変換の部分和が含まれます。$${\displaystyle s_{0,k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}}$$$${\displaystyle s_{j+1,k}={\frac {s_{j,k}+s_{j,k+1}}{2}}}$$${\displaystyle s_{j,0}}$

Adriaan van Wijngaardenの貢献は、この手順を最後まで実行するのではなく、3 分の 2 のところで止める方がよいことを指摘したことです。^[1]が使用可能な場合 、 はよりもほぼ常に合計のより良い近似値になります。多くの場合、対角項は 1 サイクルで収束しないため、平均化のプロセスは、対角項を並べて対角項で繰り返されます。(たとえば、比率 の等比級数ではこれが必要になります。) 部分和の平均を連続的に平均化するこのプロセスは、対角項を計算する式を使用することで置き換えることができます。 ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{12}}$${\displaystyle s_{8,4}}$${\displaystyle s_{12,0}}$${\displaystyle -4}$

単純だが具体的な例として、ライプニッツの円周率の公式を思い出してください。

上記のアルゴリズムにより、次の表が生成されます。

これらは次のアルゴリズム出力に対応します。

• オイラー和