ベルンシュタインの定理（近似理論）

近似理論において、バーンスタインの定理はジャクソンの定理 の逆である。^[1]このタイプの最初の結果は、1912年にセルゲイ・バーンスタインによって証明された。 ^[2]

三角多項式による近似の場合、結果は次のようになります。

f : [0, 2π] → C を2 π周期関数とし、rを自然数、0 < α < 1 とする。数C ( f ) > 0 と三角多項式列{ P _n } _{n ≥ n 0}が存在し、

${\displaystyle \deg \,P_{n}=n~,\quad \sup _{0\leq x\leq 2\pi }|f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {C(f)}{n^{r+\alpha }}}~,}$

するとf = P _{n 0} + φとなり、φ はα-ヘルダー連続である有界なr次導関数を持ちます。

• バーンスタインの無気力定理
• 構成的関数理論