数値積分

被積分関数が比較的良好な性質（すなわち、区分的に連続で、かつ変動が限定されている）を持つ場合、非常に小さな増分で被積分関数を評価することにより、「力任せ」な数値積分を行うことができます。

この最も単純な方法は、点を通る階段関数（区分的定数関数、または0次の区分的多項式）によって関数を近似する。${\textstyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$これは中点ルールまたは長方形ルールと呼ばれます。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).}$$

積分しやすい補間関数を構築することで、多くの種類の求積法を導き出すことができます。通常、これらの補間関数は多項式です。実際には、次数が非常に高い多項式は激しく振動する傾向があるため、次数が低い多項式、一般的には線形および二次多項式のみが使用されます。

補間関数は、点を通る直線（アフィン関数、すなわち1次多項式）である可能性がある。${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$そして${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$これは台形公式と呼ばれます。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right).}$$

これらの規則のどちらについても、区間を分割することでより正確な近似値を得ることができます。${\displaystyle [a,b]}$数に${\displaystyle n}$複数の小区間に分割し、各小区間について近似値を計算し、それらの結果をすべて合計します。これは複合ルール、拡張ルール、または反復ルールと呼ばれます。たとえば、複合台形ルールは次のように表すことができます。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$$

ここで、小区間は次の形式をとる。${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$と${\textstyle h={\frac {b-a}{n}}}$そして${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$ここでは、同じ長さの小区間を使用しました。${\displaystyle h}$しかし、長さの異なる間隔を使用することもできる。${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$。

等間隔の点で評価された多項式による補間${\displaystyle [a,b]}$これにより、ニュートン・コーツの公式が得られます。長方形公式や台形公式はその例です。2次多項式に基づくシンプソンの公式も、ニュートン・コーツの公式です。

等間隔の点を用いた求積法は、入れ子構造という非常に便利な性質を持っています。各区間を細分化した対応する法則には、現在のすべての点が含まれるため、それらの被積分関数の値を再利用できます。

補間点間の間隔を可変にすると、ガウス求積法などの別の求積公式群が得られます。被積分関数が滑らか（つまり、十分に微分可能）な場合、ガウス求積法は、同じ回数の関数評価を使用するニュートン・コーツ法よりも一般的に精度が高くなります。間隔を可変にする他の求積法には、ネスト構造を持つクレンショー・カーティス求積法（フェイェール求積法とも呼ばれる）などがあります。

ガウス求積法は入れ子構造を持たないが、関連するガウス・クロンロッド求積法は入れ子構造を持つ。

ニュートン・コーツ型の求積法の精度は、一般的に評価点の数に依存します。評価点の数が増えるほど、あるいは同等に、点間のステップ幅が小さくなるほど、結果の精度は通常向上します。ステップ幅をゼロに近づけた場合、結果はどうなるのかという疑問が生じるのは自然なことです。これは、リチャードソン外挿法などの級数加速法を用いて、2つ以上のゼロ以外のステップ幅から結果を外挿することで解決できます。外挿関数は、多項式関数または有理関数です。外挿法については、StoerとBulirsch（第3.4節）でより詳細に説明されており、 QUADPACKライ​​ブラリの多くのルーチンに実装されています。

させて${\displaystyle f}$区間における有界な一次導関数を持つ${\displaystyle [a,b],}$つまり${\displaystyle f\in C^{1}([a,b]).}$平均値の定理${\displaystyle f,}$どこ${\displaystyle x\in [a,b),}$与える $${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a),}$$ 一部の人にとって${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$に応じて${\displaystyle x}$。

統合すると${\displaystyle x}$から${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$両辺の絶対値を取ると、 $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(\xi _{x})\,dx\right|.}$$

右辺の積分をさらに近似するには、絶対値を被積分関数に持ち込み、項を置き換えることができます。${\displaystyle f'}$上限によって

ここで上限値は近似値として使用されました。

したがって、積分を近似すると${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$求積法によって${\displaystyle (b-a)f(a)}$我々の誤差は1の右辺以下である。これをリーマン和の誤差解析に変換することで、上限値が得られる。 $${\displaystyle {\frac {n^{-1}}{2}}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$$ その特定の近似の誤差項について。（これはまさに例で計算した誤差であることに注意してください。）${\displaystyle f(x)=x}$）より多くの導関数を使用し、求積法を調整することで、fのテイラー級数（剰余項を含む部分和を使用）を使用して同様の誤差解析を行うことができます。この誤差解析は、 fの導関数が利用可能な場合、誤差の厳密な上限を与えます。

この積分法は、区間演算と組み合わせることで、コンピュータによる証明や検証済みの計算結果を生成することができる。

無限区間における近似積分にはいくつかの方法が存在する。標準的な手法では、実数全体における積分にはガウス・エルミート求積法、正の実数における積分にはガウス・ラゲール求積法など、特別に導出された求積法が用いられる。 ^{[ 4 ]}モンテカルロ法や、有限区間への変数変換も使用できる。例えば、実数全体に対しては、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt,}$$ 半無限区間の場合は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}},\end{aligned}}}$$ 可能な変換として。さらに読む^{[ 5 ]}。

モンテカルロ法および準モンテカルロ法は、多次元積分に容易に適用できる。これらの方法は、一次元積分法を用いた繰り返し積分よりも、同じ関数評価回数でより高い精度が得られる可能性がある。

有用なモンテカルロ法の大きなクラスは、いわゆるマルコフ連鎖モンテカルロアルゴリズムであり、これにはメトロポリス・ヘイスティングスアルゴリズムやギブスサンプリングが含まれる。

疎格子は、もともと高次元関数の求積のためにスモリャクによって開発されました。この方法は常に一次元求積法に基づいていますが、単変量結果をより洗練された形で組み合わせます。しかし、テンソル積法では求積点の重みが正であればすべての求積点の重みも正になることが保証されるのに対し、スモリャクの法則ではすべての重みが正になることは保証されません。

ベイズ求積法は、積分計算という数値問題に対する統計的手法であり、確率数値解析の分野に属する。この手法は、ガウス過程の事後分散として表現される積分の解に関する不確実性を完全に扱うことができる。