離散要素法

離散要素法（DEM）は、個別要素法とも呼ばれ、多数の小さな粒子の運動と効果を計算する数値計算法の一種です。 DEM は分子動力学と非常に密接に関連していますが、この方法は一般に、回転自由度、状態のある接触、粒子の変形、および多くの場合複雑な形状（多面体を含む）を含むことで区別されます。 計算能力と最近傍ソートの数値アルゴリズムの進歩により、1 つのプロセッサで数百万の粒子を数値的にシミュレートできるようになりました。 今日、 DEM は、特に粒状流、粉体力学、氷および岩石力学において、粒状および不連続材料の工学的問題に対処するための効果的な方法として広く受け入れられつつあります。 DEM は、熱伝達、^{[1]、 [}化学反応] 、 ^[2]、およびCFD ^[3]とFEM ^[4]との結合を考慮し た拡張離散要素法に拡張されています。

離散要素法は比較的計算負荷が高いため、シミュレーションの長さまたは粒子の数のいずれかが制限されます。分子動力学コードと同様に、いくつかの DEM コードは、並列処理機能 (共有または分散システム) を利用して、粒子の数またはシミュレーションの長さをスケールアップします。すべての粒子を個別に処理する代わりに、多くの粒子にわたって物理特性を平均化し、それによって材料を連続体として扱うことができます。土質力学における固体のような粒状挙動の場合、連続体アプローチでは通常、材料を弾性または弾塑性として扱い、有限要素法またはメッシュフリー法でモデル化します。液体または気体のような粒状流の場合、連続体アプローチでは材料を流体として扱い、計算流体力学を使用します。ただし、粒状スケールの物理特性の均質化の欠点は十分に文書化されているため、連続体アプローチを使用する前に慎重に検討する必要があります。

DEM ファミリーには、 1979 年にPeter A. Cundallと Otto DL Strackによって提案された個別要素法、 ^[5]一般化離散要素法、^[6]不連続変形解析(DDA) (Shi 1992)、およびいくつかのグループ (例: Munjiza と Owen) によって同時に開発された有限離散要素法など、さまざまな分野があります。 この一般的な方法は、もともと 1971 年に Cundall によって岩石力学の問題に対して開発されました。 Williams ^[6]は、DEM は粒子の変形と破砕を可能にする一般化有限要素法と見なせることを示しました。 地盤力学の問題への応用については、Numerical Methods in Rock Mechanics という書籍で説明されています。^[7]第 1 回、第 2 回、および第 3 回国際離散要素法会議は、研究者がこの方法とその応用に関する進歩を発表する共通の場となっています。ウィリアムズとオコナー、 ^[8]ビカニック、ボベットらによって、最先端の研究をレビューした論文が出版されている（下記参照）。複合有限要素法と離散要素法の包括的な解説は、複合有限要素法と離散要素法という本に掲載されている。^[9]

この方法の基本的な前提は、材料が個別の粒子で構成されているということです。これらの粒子は、粒子間の接触に影響を与えるさまざまな形状と特性を持つ場合があります。いくつかの例を以下に示します。

• 液体や溶液、例えば砂糖やタンパク質など。
• 穀物などの貯蔵サイロ内のバルク材料。
• 砂のような粒状物質。
• トナーのような粉末。
• ブロック状または節理のある岩盤

DEM を使用する一般的な業界は次のとおりです。

• 農業および食品取り扱い
• 化学薬品
• 洗剤^[10]
• 石油とガス
• 鉱業
• 鉱物処理
• 製薬業界^[11]
• 粉末冶金

DEM シミュレーションは、まずモデルを生成することから始まります。これにより、すべての粒子が空間的に方向付けられ、初期速度が割り当てられます。各粒子に作用する力は、初期データと関連する物理法則および接触モデルから計算されます。通常、シミュレーションは、初期化、明示的な時間ステップ、および後処理の 3 つの部分で構成されます。時間ステップでは通常、可能な接触ペアの数を減らして計算要件を軽減するために、最近傍ソート手順が必要です。これは、定期的にのみ実行されることがよくあります。

マクロシミュレーションでは、次の力を考慮する必要がある場合があります。

• 2 つの粒子が互いに接触するときの摩擦。
• 2 つの粒子が衝突するときの接触塑性、または反動。
• 重力は、粒子の質量によって粒子間に働く引力であり、天文学的なシミュレーションにのみ関係します。
• 凝集力、接着力、液体架橋力、静電引力などの引力ポテンシャル。最近接ペアを決定するためのオーバーヘッドのため、粒子サイズと比較して長距離の力の正確な解決には計算コストが増加したり、これらの相互作用を解決するための特殊なアルゴリズムが必要になる場合があることに注意してください。

分子レベルでは、次のことが考えられます。

• クーロン力、電荷を帯びた粒子の静電気による引力または反発力。
• パウリの反発、2つの原子が互いに接近するとき。
• ファンデルワールス力。

これらの力はすべて加算され、各粒子に作用する合計の力が求められます。ニュートンの運動法則から、特定の時間ステップにおける各粒子の位置と速度の変化を計算するために積分法が採用されています。次に、新しい位置を使用して次のステップでの力が計算され、このループはシミュレーションが終了するまで繰り返されます。

離散要素法で使用される一般的な積分法は次のとおりです。

• ヴェルレアルゴリズム、
• ベロシティ・ヴェルレ、
• シンプレクティック積分器、
• リープフロッグ法。

離散要素法は、多体問題、特に粒状材料における機械的相互作用の考慮に広く適用されています。DEM のさまざまな拡張の中で、熱流の考慮は特に有用です。一般的に、熱 DEM 法では、熱機械結合が考慮され、個々の要素の熱特性を考慮して、機械的負荷を受けるマクロな粒状媒体または多要素媒体を通る熱流をモデル化します。^[12]粒子間力は、従来の DEM の一部として計算され、真の粒子間接触領域を決定するために使用され、1 つの固体要素から別の固体要素への熱伝導伝達をモデル化します。DEM で考慮されるもう 1 つの側面は、粒子間空間における気相の熱伝導、放射、対流です。これを実現するには、要素間の気相の特性を、圧力、ガス伝導率、およびガス分子の平均自由行程の観点から考慮する必要があります。^[13]

長距離の力（通常は重力またはクーロン力）を考慮に入れる場合、各粒子ペア間の相互作用を計算する必要があります。相互作用の数と計算コストは​​、粒子の数の2乗で増加します。これは、粒子の数が多いシミュレーションでは受け入れられません。この問題を回避する方法としては、検討中の粒子から遠く離れたいくつかの粒子を1つの擬似粒子に結合することが考えられます。例として、星と遠方の銀河との相互作用を考えてみましょう。遠方の銀河のすべての星を1つの質点に結合することで生じる誤差はごくわずかです。いわゆるツリー アルゴリズムを使用して、どの粒子を1つの擬似粒子に結合できるかを決定します。これらのアルゴリズムは、すべての粒子をツリー（ 2次元の場合は4分木、 3次元の場合は8分木）に配置します。

しかし、分子動力学のシミュレーションでは、シミュレーションが行われる空間をセルに分割します。セルの片側から出た粒子は、単に反対側に挿入されます (周期境界条件)。力についても同様です。いわゆるカットオフ距離 (通常はセルの長さの半分) を超えると、力は考慮されなくなります。そのため、粒子はセルの反対側にある同じ粒子の鏡像の影響を受けません。これで、セルをコピーするだけで粒子の数を増やすことができます。

長距離力に対処するためのアルゴリズムには次のものがあります。

• バーンズ・ハットシミュレーション、
• 高速多重極法。

ムンジザとオーウェンの研究に続いて、複合有限離散要素法は、医薬品の錠剤製造、^[14]、包装および流動シミュレーション、^[15]、衝撃解析など、多くの用途でさまざまな不規則で変形可能な粒子にさらに開発されました。^[16]

利点

• DEM は、さまざまな粒状流動や岩石力学の状況をシミュレートするために使用できます。いくつかの研究グループが、粘着性粉末、粒状流動、節理のある岩盤など、幅広い工学アプリケーションにおける実験結果とよく一致するシミュレーション ソフトウェアを独自に開発しました。
• DEM を使用すると、物理的な実験では通常不可能な、粉体の流れのミクロダイナミクスのより詳細な研究が可能になります。たとえば、粒状媒体に形成される力ネットワークは、DEM を使用して視覚化できます。このような測定は、小さく多数の粒子を使用した実験ではほとんど不可能です。
• 外部荷重環境下における粒状アセンブリの力伝達接触の一般的な特性は、光応力解析（PSA）を使用した実験研究と一致している。^{[17] [18]}

デメリット

• 粒子の最大数と仮想シミュレーションの持続時間は、計算能力によって制限されます。一般的なフローには数十億の粒子が含まれますが、大規模なクラスター コンピューティング リソースでの最新の DEM シミュレーションでは、最近になってようやく、十分に長い時間 (実際のプログラム実行時間ではなく、シミュレーション時間) にわたってこの規模に近づくことができるようになりました。
• DEM は計算量が多いため、計算工学科学や産業界で連続体アプローチとしてそれほど容易に広く採用されていません。ただし、一般的な GPU には多数のコンピューティング コアがあるため、DEM シミュレーションを実行するためにグラフィック プロセッシング ユニット (GPU) を使用すると、実際のプログラム実行時間が大幅に短縮されます。さらに、DEM シミュレーションを実行する場合、GPU は従来のコンピューティング クラスターよりも大幅にエネルギー効率が高い傾向があります。つまり、GPU で解決された DEM シミュレーションは、従来のコンピューティング クラスターで解決された場合よりもエネルギーが少なくて済みます。^[19]

• 圧縮シミュレーション
• 移動可能なセルオートマトン

本

• Bicanic, Ninad (2004)。「離散要素法」。Stein, Erwin、De Borst、Hughes, Thomas JR (編)。計算力学百科事典。第 1 巻。Wiley。ISBN 978-0-470-84699-5。
• マイケル、グリーベル。他。 （2003年）。分子動力学における数値シミュレーション。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-3-540-41856-6。
• Williams, JR; Hocking, G.; Mustoe, GGW (1985 年 1 月)。「離散要素法の理論的基礎」。NUMETA 1985、数値工学手法、理論および応用。ロッテルダム: AA Balkema。
• ウィリアムズ、JR; パンデ、G.; ビア、JR (1990)。岩石力学における数値的手法。チチェスター: ワイリー。ISBN 978-0471920212。
• Radjai, Farang; Dubois, Frédéric 編 (2011)。粒状材料の離散要素モデリング。ロンドン: Wiley- ISTE。ISBN 978-1-84821-260-2。
• ペッシェル、トルステン。シュワガー、トムズ (2005)。計算粒状ダイナミクス: モデルとアルゴリズム。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 978-3-540-21485-4。

定期刊行物

• Bobet, A.; Fakhimi, A.; Johnson, S.; Morris, J.; Tonon, F.; Yeung, M. Ronald (2009 年 11 月)。「不連続媒体の数値モデル: 岩石力学アプリケーションにおける進歩のレビュー」。Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering。135 ( 11): 1547–1561。doi : 10.1061 /(ASCE)GT.1943-5606.0000133。
• Cundall, PA ; Strack , ODL (1979 年 3月)。「粒状アセンブリの離散数値モデル」。Géotechnique。29 ( 1): 47–65。doi :10.1680/geot.1979.29.1.47。
• Kafashan, J.; Wiącek, J.; Abd Rahman, N.; Gan, J. (2019). 「エンジニアリングにおける DEM シミュレーションのための 2 次元粒子形状モデリング: レビュー」Granular Matter . 21 (3): 80. doi :10.1007/s10035-019-0935-1. S2CID  199383188.
• 川口 孝文; 田中 孝文; 辻 勇治 (1998 年 5 月). 「離散要素法による 2 次元流動層の数値シミュレーション (2 次元モデルと 3 次元モデルの比較)」.粉体工学. 96 (2): 129–138. doi :10.1016/S0032-5910(97)03366-4. 2007 年 9 月 30 日にオリジナルからアーカイブ。2005年 8 月 23 日に取得。
• Williams , JR; O'Connor , R. (1999 年 12 月)。 「離散要素シミュレーションと接触問題」。Archives of Computational Methods in Engineering。6 ( 4): 279–304。CiteSeerX 10.1.1.49.9391。doi :10.1007/BF02818917。S2CID 16642399  。 
• Zhu , HP; Zhou, ZY; Yang, RY; Yu, AB (2007 年 7 月)。「粒子システムの離散粒子シミュレーション: 理論的展開」。化学工学科学。62 (13): 3378–3396。Bibcode :2007ChEnS..62.3378Z。doi :10.1016/ j.ces.2006.12.089。
• Zhu, HP; Zhou, ZY; Yang, RY; Yu, AB (2008). 「粒子システムの離散粒子シミュレーション: 主な応用と研究結果のレビュー」.化学工学科学. 63 (23): 5728–5770. Bibcode :2008ChEnS..63.5728Z. doi :10.1016/j.ces.2008.08.006.

議事録

• Shi, Gen‐Hua (1992年2 月)。「不連続変形解析: 変形可能なブロック構造の静力学と動力学に関する新しい数値モデル」。エンジニアリング計算。9 (2): 157–168。doi : 10.1108/eb023855。
• Williams, John R.; Pentland , Alex P. ( 1992 年 2 月)。「インタラクティブ デザインにおける離散要素のスーパー二次関数とモーダル ダイナミクス」。エンジニアリング計算。9 (2): 115–127。doi :10.1108/eb023852。
• Williams, John R.; Mustoe, Graham GW 編 (1993)。離散要素法 (DEM) に関する第 2 回国際会議の議事録(第 2 版)。マサチューセッツ州ケンブリッジ: IESL 出版。ISBN 978-0-918062-88-8。