有限要素法

有限要素法は、変分定式化、離散化戦略、1つ以上の解法アルゴリズム、および後処理手順によって特徴付けられる。

変分法の例としては、ガラーキン法、不連続ガラーキン法、混合法などが挙げられる。

離散化戦略とは、(a)有限要素メッシュの作成、(b)参照要素上の基底関数（形状関数とも呼ばれる）の定義、(c)参照要素のメッシュ要素へのマッピングを網羅する、明確に定義された一連の手順を意味する。離散化戦略の例としては、hバージョン、pバージョン、hpバージョン、x-FEM、等幾何解析などがある。各離散化戦略には、それぞれ長所と短所がある。離散化戦略を選択する際の妥当な基準は、特定のモデルクラスにおける最も広範な数学モデルに対して、ほぼ最適なパフォーマンスを実現することである。

様々な数値解法アルゴリズムは、大きく分けて直接解法と反復解法の2つのカテゴリに分類できる。これらのアルゴリズムは、変分定式化と離散化戦略の選択に応じて、行列の疎性を活用するように設計されている。

後処理手順は、有限要素解析結果から必要なデータを抽出するために設計されています。解析結果の検証要件を満たすためには、後処理ツールは対象となる量に関して事後誤差推定を行う必要があります。近似誤差が許容範囲を超える場合は、自動適応処理または解析者の操作によって離散化を変更する必要があります。非常に効率的な後処理ツールの中には、超収束を実現するものもあります。

以下の2つの問題は、有限要素法を説明するものです。

P1は一次元問題である $${\displaystyle {\text{ P1 }}:{\begin{cases}u''(x)=f(x){\text{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle f}$与えられている、${\displaystyle u}$は未知の関数です${\displaystyle x}$、 そして${\displaystyle u''}$は、${\displaystyle u}$に関して${\displaystyle x}$。

P2は2次元問題（ディリクレ問題） です。$${\displaystyle {\text{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y)&{\text{ in }}\Omega ,\\u=0&{\text{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}$$

どこ${\displaystyle \Omega }$は、${\displaystyle (x,y)}$境界が平面である${\displaystyle \partial \Omega }$は良い（例えば、滑らかな多様体や多角形）であり、$uxx$そして$u_yy$は、に関する2階微分を表す。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、 それぞれ。

問題 P1 は、原始関数を計算することで直接解くことができます。ただし、この境界値問題(BVP)の解法は、空間次元が 1 次元の場合にのみ有効です。高次元の問題や、次のような問題には一般化できません。${\displaystyle u+V''=f}$そのため、本稿ではP1に対する有限要素法を開発し、それをP2に一般化する手順を概説する。

本稿では、境界値問題（BVP）を有限要素法（FEM）を用いて解く際に必ず踏まなければならない2つの重要なステップを反映した、2つのステップで説明を進めます。

• 最初のステップでは、元の境界値問題を弱形式に書き換えます。このステップでは通常、計算はほとんど必要ありません。変換は紙の上で手作業で行います。
• 第2段階は離散化であり、弱形式を有限次元空間で離散化する。

この第２段階の後、元の境界値問題を近似的に解く、大規模だが有限次元の線形問題に対する具体的な公式が得られます。この有限次元問題は、コンピュータ上で実行されます。

最初のステップは、P1とP2を同等の弱形式に変換することです。

間隔を取る${\displaystyle (0,1)}$、 選ぶ${\displaystyle n}$値${\displaystyle x}$と${\displaystyle 0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}<x_{n+1}=1}$そして私たちは定義します${\displaystyle V}$による： $${\displaystyle V=\{v:[0,1]\to \mathbb {R} \;:v{\text{ is continuous, }}v|_{[x_{k},x_{k+1}]}{\text{ is linear for }}k=0,\dots ,n{\text{, and }}v(0)=v(1)=0\}}$$

ここで定義する${\displaystyle x_{0}=0}$そして${\displaystyle x_{n+1}=1}$関数に注目してください${\displaystyle V}$微積分学の基本的な定義によれば、微分可能ではない。実際、${\displaystyle v\in V}$この場合、導関数は通常どの点でも定義されない。${\displaystyle x=x_{k}}$、${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$しかし、導関数は他のすべての値で存在します。${\displaystyle x}$そして、この導関数は部分積分に使用できます。

私たちには必要だ${\displaystyle V}$関数の集合である${\displaystyle \Omega }$右の図では、15辺の多角形領域の三角形分割を示しています。${\displaystyle \Omega }$平面上（下図）と、この多角形の区分的線形関数（上図、カラー）で、三角形分割の各三角形上で線形となるもの。空間${\displaystyle V}$選択された三角形分割の各三角形上で線形となる関数で構成される。

基となる三角形メッシュが細かくなるにつれて、離散問題（3）の解が、ある意味で元の境界値問題P2の解に収束することが期待される。このメッシュの細かさを測定するために、三角形分割は実数値パラメータによってインデックス付けされる。${\displaystyle h>0}$これは非常に小さい値とみなされます。このパラメータは、三角形分割における最大または平均三角形サイズに関係します。三角形分割を細かくするにつれて、区分的線形関数の空間は${\displaystyle V}$変化も必要${\displaystyle h}$そのため、よく読むのは${\displaystyle V_{h}}$の代わりに${\displaystyle V}$文献にはそのような表記法が見られます。しかし、私たちはそのような分析を行わないため、この表記法は使用しません。

ベッセル関数の補間

16個のスケーリングおよびシフトされた三角形基底関数（色）を使用して、ゼロ次ベッセル関数J ₀（黒）を再構成します。

基底関数の線形結合（黄色）は、任意の精度でJ _{0 （黒色）を再現します。}

離散化を完了するには、基底を選択する必要があります。${\displaystyle V}$1次元の場合、各制御点について${\displaystyle x_{k}}$区分的線形関数を選択します${\displaystyle v_{k}}$で${\displaystyle V}$その価値は${\displaystyle 1}$で${\displaystyle x_{k}}$そしてすべての${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$つまり、 $${\displaystyle v_{k}(x)={\begin{cases}{x-x_{k-1} \over x_{k}\,-x_{k-1}}&{\text{ if }}x\in [x_{k-1},x_{k}],\\{x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_{k}}&{\text{ if }}x\in [x_{k},x_{k+1}],\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$

のために${\displaystyle k=1,\dots ,n}$この基底は、シフトおよびスケーリングされたテント関数です。2次元の場合、再び1つの基底関数を選択します。${\displaystyle v_{k}}$頂点ごと${\displaystyle x_{k}}$平面領域の三角分割${\displaystyle \Omega }$. 機能${\displaystyle v_{k}}$は、${\displaystyle V}$その価値は${\displaystyle 1}$で${\displaystyle x_{k}}$そしてすべての${\displaystyle x_{j},\;j\neq k}$。

著者によって、「有限要素法」における「要素」という言葉は、領域の三角形、区分的線形基底関数、またはその両方を指す場合があります。例えば、曲面領域に関心のある著者は、三角形を曲面プリミティブに置き換えて、要素を曲線要素と表現するかもしれません。一方、一部の著者は「区分的線形」を「区分的二次」または「区分的多項式」に置き換えます。その場合、著者は「高次多項式」の代わりに「高次要素」と言うかもしれません。有限要素法は三角形に限定されません（3次元空間では四面体、多次元空間では高次単体など）。それでも、四角形のサブドメイン（3次元空間では六面体、角柱、角錐など）上で定義できます。高次形状（曲線要素）は、多項式形状だけでなく、非多項式形状（例えば、楕円や円）でも定義できます。

高次の区分的多項式基底関数を用いる手法の例としては、hp-FEMやスペクトルFEMなどが挙げられる。

より高度な実装（適応型有限要素法）では、結果の品質を評価する手法（誤差推定理論に基づく）を用い、連続体問題の厳密解から一定の範囲内で近似解を得ることを目指して、解法中にメッシュを修正します。メッシュ適応には様々な手法が用いられますが、最も一般的なものは以下のとおりです。

• ノードの移動（r適応性）
• 精製要素（および未精製要素）（h適応性）
• 基底関数の順序変更（p適応性）
• 上記の組み合わせ（hp適応性）。

この基底を選択する主な利点は、内積が $${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle =\int _{0}^{1}v_{j}v_{k}\,dx}$$ そして $${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})=\int _{0}^{1}v_{j}'v_{k}'\,dx}$$ ほぼすべての${\displaystyle j,k}$（行列に含まれるもの）${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$で${\displaystyle (j,k)}$位置はグラミアン行列として知られています。）1次元の場合、サポートは${\displaystyle v_{k}}$区間は${\displaystyle [x_{k-1},x_{k+1}]}$したがって、被積分関数は${\displaystyle \langle v_{j},v_{k}\rangle }$そして${\displaystyle \phi (v_{j},v_{k})}$常にゼロになる${\displaystyle |j-k|>1}$。

同様に、平面の場合、${\displaystyle x_{j}}$そして${\displaystyle x_{k}}$三角形分割の辺を共有しない場合、積分は $${\displaystyle \int _{\Omega }v_{j}v_{k}\,ds}$$ そして $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla v_{j}\cdot \nabla v_{k}\,ds}$$ 両方ともゼロです。

もし私たちが書くならば${\displaystyle u(x)=\sum _{k=1}^{n}u_{k}v_{k}(x)}$そして${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$次に問題(3)を取り、${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$のために${\displaystyle j=1,\dots ,n}$、

と表記すると${\displaystyle \mathbf {u} }$そして${\displaystyle \mathbf {f} }$列ベクトル${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{n})^{t}}$そして${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$、そしてもし私たちが $${\displaystyle L=(L_{ij})}$$ そして $${\displaystyle M=(M_{ij})}$$ 要素が次のようになる行列とする。 $${\displaystyle L_{ij}=\phi (v_{i},v_{j})}$$ そして $${\displaystyle M_{ij}=\int v_{i}v_{j}dx}$$ すると、(4)を次のように言い換えることができる。

想定する必要はありません${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}v_{k}(x)}$一般的な関数の場合${\displaystyle f(x)}$問題（３）${\displaystyle v(x)=v_{j}(x)}$のために${\displaystyle j=1,\dots ,n}$行列がないので、実際にはもっと簡単になります${\displaystyle M}$使用される、

どこ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{n})^{t}}$そして${\displaystyle b_{j}=\int fv_{j}dx}$のために${\displaystyle j=1,\dots ,n}$。

以前にも述べたように、${\displaystyle L}$そして${\displaystyle M}$基底関数はゼロなので${\displaystyle v_{k}}$小さなサポートがあります。したがって、未知数に関する線形システムを解く必要があります。${\displaystyle \mathbf {u} }$行列のエントリのほとんどが${\displaystyle L}$逆数を取る必要があるものはゼロです。

このような行列は疎行列として知られており、このような問題には効率的な解法が存在する（実際に行列を逆行列化するよりもはるかに効率的である）。さらに、${\displaystyle L}$は対称かつ正定値であるため、共役勾配法などの手法が好まれます。問題がそれほど大きくない場合は、疎行列LU分解やコレスキー分解でも十分です。例えば、MATLABのバックスラッシュ演算子（疎行列LU、疎行列コレスキー、その他の因数分解法を使用）は、10万個の頂点を持つメッシュに対して十分な場合があります。

マトリックス${\displaystyle L}$は通常、剛性マトリックスと呼ばれ、一方、マトリックスは${\displaystyle M}$これは質量行列と呼ばれています。

一般的に、有限要素法は以下のプロセスによって特徴づけられる。

• グリッドを選択する${\displaystyle \Omega }$前述の処理では、グリッドは三角形で構成されていましたが、正方形や曲線多角形を使用することもできます。
• 次に、基底関数を選択します。本稿では区分的線形基底関数を用いましたが、区分的多項式基底関数を用いるのが一般的です。

基底関数の滑らかさも考慮する必要があります。2 階楕円型境界値問題の場合、単に連続な区分的多項式基底関数で十分です (つまり、導関数は不連続です)。高階偏微分方程式の場合は、より滑らかな基底関数を使用する必要があります。たとえば、4 階問題の場合、${\displaystyle u_{xxxx}+u_{yyyy}=f}$区分的二次基底関数を使用できる。${\displaystyle C^{1}}$。

もう一つの考慮事項は、有限次元空間の関係である。${\displaystyle V}$上記の例における無限次元の対応物へ${\displaystyle H_{0}^{1}}$適合要素法とは、空間${\displaystyle V}$これは、連続問題に対する要素空間の部分空間です。上記の例はそのような方法の一例です。この条件が満たされない場合、非適合要素法が得られます。その一例として、メッシュ上の区分的線形関数の空間があり、これは各辺の中点で連続です。これらの関数は一般に辺に沿って不連続であるため、この有限次元空間は元の要素空間の部分空間ではありません。${\displaystyle H_{0}^{1}}$。

通常、与えられたメッシュを細分化するアルゴリズムがあります。精度を高める主な方法がメッシュの細分化である場合、h法（hは通常、メッシュ内の最大要素の直径）があります。このようにして、グリッドの誤差が${\displaystyle h}$上側は${\displaystyle Ch^{p}}$一部の人にとって${\displaystyle C<\infty }$そして${\displaystyle p>0}$すると、次数pの方法が得られます。特定の仮定 (たとえば、領域が凸である場合) の下では、次数 p の区分的多項式が得られます。${\displaystyle d}$メソッドには順序エラーが発生します${\displaystyle p=d+1}$。

h を小さくする代わりに、基底関数で使用される多項式の次数を上げると、p法が得られます。これら 2 つの細分化タイプを組み合わせると、hp法 ( hp-FEM ) が得られます。hp-FEM では、多項式の次数は要素ごとに異なる場合があります。大きな均一pを持つ高次法は、スペクトル有限要素法 ( SFEM )と呼ばれます。これらはスペクトル法と混同しないでください。

ベクトル偏微分方程式の場合、基底関数は の値をとることがあります。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

応用要素法（AEM）は、有限要素法（FEM）と離散要素法（DEM）の両方の特徴を組み合わせたものです。

YangとLuiは拡張有限要素法を導入したが、その目的はPuMが述べたように、追加の自由度を必要とせずに弱い不連続性と強い不連続性をモデル化することであった。

カット有限要素法は2014年に開発されました。^{[ 16 ]}この手法は、「標準的な有限要素法の精度と堅牢性を維持しながら、離散化を幾何学的記述からできるだけ独立させ、メッシュ生成の複雑さを最小限に抑える」ことを目的としています。^{[ 17 ]}

一般化有限要素法（GFEM）は、未知の解に関する利用可能な情報を反映し、良好な局所近似を保証する関数（必ずしも多項式ではない）からなる局所空間を使用します。次に、単位分割を使用してこれらの空間を「結合」し、近似部分空間を形成します。GFEMの有効性は、複雑な境界を持つ領域の問題、マイクロスケールの問題、境界層の問題に適用した場合に実証されています。^{[ 18 ]}

混合有限要素法は、偏微分方程式問題の離散化の際に、節点変数として追加の独立変数を導入する有限要素法の一種である。

hp -FEMは、可変サイズhと多項式の次数pを持つ要素を適応的に組み合わせることで、非常に高速な指数関数的収束率を実現します。^{[ 19 ]}

hpk -FEMは、可変サイズh、局所近似の多項式次数p、および局所近似のグローバル微分可能性( k -1)を持つ要素を適応的に組み合わせることで、最高の収束率を実現します。

拡張有限要素法（XFEM）は、一般化有限要素法（GFEM）と単位分割法（PUM）に基づく数値計算手法です。これは、不連続関数を含む微分方程式の解空間を拡張することで、従来の有限要素法を拡張したものです。拡張有限要素法は、近似空間を拡張することで、対象となる問題に関連する困難な特徴（不連続性、特異点、境界層など）を自然に再現します。いくつかの問題では、問題の特徴を近似空間に埋め込むことで、収束率と精度が大幅に向上することが示されています。さらに、不連続性を持つ問題をXFEMで処理すると、不連続面のメッシュ生成と再メッシュ生成の必要性が抑制されるため、従来の有限要素法に伴う計算コストと投影誤差が軽減されますが、その代償として、不連続性をメッシュのエッジに限定する必要があります。

いくつかの研究コードは、この手法を様々な程度で実装している。

1. GetFEM++
2. xfe++
3. openxfe++

XFEMは、Altair Radios、ASTER、Morfeo、Abaqusなどのコードにも実装されています。また、他の商用有限要素解析ソフトウェアにも採用が進んでおり、いくつかのプラグインやコア実装が利用可能です（ANSYS、SAMCEF、OOFELIEなど）。

スケール境界有限要素法（SBFEM）の導入は、SongとWolf（1997）によるものです。^{[ 20 ]} SBFEMは、破壊力学問題の数値解析の分野で最も有益な貢献の1つとなっています。これは、有限要素定式化と手順、および境界要素離散化の利点を組み合わせた、半解析的な基本解不要法です。ただし、境界要素法とは異なり、基本微分解は必要ありません。

S-FEM（平滑化有限要素法）は、物理現象のシミュレーションを行うための数値シミュレーションアルゴリズムの一種です。これは、メッシュフリー法と有限要素法を組み合わせることによって開発されました。

スペクトル要素法は、有限要素法の幾何学的柔軟性とスペクトル法の高精度を兼ね備えています。スペクトル法は、高次のラグランジュ補間法に基づく弱形式偏微分方程式の近似解法であり、特定の求積規則でのみ使用されます。^{[ 21 ]}

ルービニャック反復法は、有限要素法における反復法の一つである。

結晶塑性有限要素法（CPFEM）は、フランツ・ローターズによって開発された高度な数値解析ツールです。金属は結晶集合体とみなすことができ、変形時に異常応力やひずみの局所化など、異方性を示します。CPFEMは、すべり（せん断ひずみ速度）に基づいて、転位、結晶方位、その他の組織情報を計算し、ルーチン処理中に結晶異方性を考慮することができます。材料変形、表面粗さ、破壊などの数値解析に適用されています。

Beirão da Veiga ら (2013) ^{[ 22 ]}が模倣有限差分法 (MFD)の拡張として導入した仮想要素法 (VEM) は、任意の要素形状に対する標準有限要素法の一般化です。これにより、形状が非常に不規則で非凸な一般的な多角形 (3D では多面体) を受け入れることができます。仮想という名前は、局所形状関数基底の知識が不要であり、実際には明示的に計算されないという事実に由来しています。