ジョーダンの通常フォーム

教科書によっては、主対角線ではなく副対角線、つまり主対角線のすぐ下に固有値が記載されているものもあります。固有値は依然として主対角線上にあります。 ^{[ 10 ] [ 11 ]}

n × n行列A は、固有空間の次元の合計がnである場合に限り対角化可能です。あるいは、A がn個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合に限り対角化可能です。すべての行列が対角化可能であるとは限りません。対角化できない行列は欠陥行列と呼ばれます。次の行列を考えてみましょう。

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

重複度を含めて、 Aの固有値はλ = 1, 2, 4, 4です。固有値 4 に対応する固有空間の次元は1 (2 ではない) なので、 Aは対角化できません。ただし、 J = P ⁻¹ APとなるような可逆行列Pが存在し、ここで

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

マトリックス${\displaystyle J}$ほぼ対角線状です。これは行列Aのジョルダン標準形です。以下の「例」のセクションで、計算の詳細を説明します。

行列を考える${\displaystyle A}$前節の例から、ジョルダン標準形は、いくつかの相似変換によって得られます。

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$つまり、${\displaystyle AP=PJ.}$

させて${\displaystyle P}$列ベクトルを持つ${\displaystyle p_{i}}$、${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$、 それから

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

私たちは、

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

のために${\displaystyle i=1,2,3}$我々は持っています${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$つまり、${\displaystyle p_{i}}$は の固有ベクトルである${\displaystyle A}$固有値に対応する${\displaystyle \lambda _{i}}$。 のために${\displaystyle i=4}$両辺に を掛ける${\displaystyle (A-4I)}$与える

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

しかし${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$、 それで

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

したがって、${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

ベクトルなど${\displaystyle p_{4}}$これらはAの一般化固有ベクトルと呼ばれます。

この例では、与えられた行列のジョルダン標準形を計算する方法を示します。

行列を考える

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

記事の冒頭で触れられている通りです。

Aの特性多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

これは、代数的重複度に従って、固有値が 1、2、4、4 であることを示しています。固有値 1 に対応する固有空間は、方程式Av = 1 vを解くことで見つけることができます。これは、列ベクトルv = (−1, 1, 0, 0) ^Tによって張られます。同様に、固有値 2 に対応する固有空間は、w = (1, −1, 0, 1) ^Tによって張られます。最後に、固有値 4 に対応する固有空間も (これは二重固有値ですが) 1 次元であり、x = (1, 0, −1, 1) ^Tによって張られます。したがって、 3 つの固有値のそれぞれについて、幾何学的重複度(つまり、与えられた固有値の固有空間の次元) は 1 です。したがって、4に等しい2つの固有値は1つのジョルダンブロックに対応し、行列Aのジョルダン正規形は直和である。

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

ジョルダン鎖は3つあります。そのうち2つは長さ1で、{ v }と{ w }はそれぞれ固有値1と2に対応します。長さ2の鎖が1つあり、これは固有値4に対応します。この鎖を見つけるには、次の式を計算します。

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

私が​4 × 4単位行列。上記のスパンから、 A − 4 Iの核に含まれないベクトルを選択します。たとえば、y = (1,0,0,0) ^{T です}。すると、( A − 4 I ) y = xおよび( A − 4 I ) x = 0となるので、{ y , x } は固有値 4 に対応する長さ 2 のチェーンになります。

P ⁻¹ AP = Jとなる遷移行列Pは、これらのベクトルを次のように並べて形成されます。

${\displaystyle P=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

計算の結果、方程式P ⁻¹ AP = Jが実際に成り立つことが示された。

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

連鎖ベクトルの出現順序を入れ替えた場合、つまり、 v、w、{ x、y }の順序をまとめて変更した場合、ジョルダンブロックも入れ替わるだろう。しかし、ジョルダン形式は等価なジョルダン形式である。

任意の複素数値正方行列A はジョルダン標準形にすることができることを帰納法で証明する。基礎となるベクトル空間は固有値に関連付けられた不変部分空間の直和であることが^{[ 14 ]}示されているため、 Aはただ 1 つの固有値λを持つと仮定できる。1 × 1 の場合は自明である。Aをn × n行列とする。⁠の範囲${\displaystyle A-\lambda I}$⁠、 で示される⁠${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$はAの不変部分空間です。また、 λはAの固有値である、 の次元はです。${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$⁠、 rはnより厳密に小さいので、帰納的仮説により、${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$⁠ は、ジョルダン鎖で構成される基底{ p ₁ , ..., p _r }を持つ

次に、カーネル、つまり部分空間⁠について考えます。${\displaystyle \ker(A-\lambda I)}$⁠ . もし

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

望ましい結果は、階数・零性定理から直ちに導かれる。（例えば、 Aがエルミート行列である場合などがこれに該当する。）

そうでなければ、もし

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

Qの次元を s ≤ r とする。Qの各ベクトルは固有ベクトルなので、${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$は、 s個の線形独立な固有ベクトルに対応する s 個のジョルダン鎖を含まなければなりません。したがって、基底 { p ₁ , ..., p _r } は、これらのジョルダン鎖の先頭ベクトルであるs個のベクトル、例えば { p ₁ , ..., p _s } を含まなければなりません。これらの先頭ベクトルの逆像を取ることで、「鎖を拡張」することができます。（これが重要なステップです。） q _{i を}次のように

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=1,\ldots ,s.}$

最後に、私たちはどんな基礎でも選ぶことができます

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q}$

そして、ベクトル { z ₁ , ..., z _t }に持ち上げる⁠${\displaystyle \ker(A-\lambda I)}$各z _{i は}長さ 1 のジョルダン連鎖を形成します。{ p 1 _, ..., p _r }、{ z ₁ , ..., z _t }、および { q ₁ , ..., q _s } の和集合がベクトル空間の基底を形成することを示すだけで十分です。

ランク零性定理により、${\displaystyle \dim(\ker(A-\lambda I)))=n-r}$⁠、だから⁠${\displaystyle t=n-r-s}$したがって、ポテンシャル基底のベクトルの数は n に等しくなります。線形独立性を示すために、ベクトルの線形結合が 0 であると仮定します。${\displaystyle A-\lambda I,}$p _iの線形結合が得られ、 q _iはp iの中で先頭ベクトルになります_。p _iの線形独立性からベクトルq iの係数はゼロでなければならないことがわかります。さらに、 z _i の非自明な線形結合は p i の線形結合と等しくなることはありません_。なぜなら_、そうするとに属することになるからです。${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)}$したがって、 Qはz _iの構成上不可能です。そのため、 z _iの係数も 0 になります。これにより、元の線形結合にはp _i項だけが残りますが、これらは線形独立であると仮定されるため、その係数もゼロでなければなりません。ジョルダン鎖で構成される基底が見つかり、これによりA をジョルダン標準形にできることがわかります。

与えられた行列Aのジョルダン標準形は、ジョルダンブロックの次数を除いて一意であることが示される。

固有値の代数的重複度と幾何学的重複度を知るだけでは、Aのジョルダン標準形を決定するには不十分です。固有値λの代数的重複度m ( λ ) が既知であると仮定すると、 ( A − λI ) ^{m ( λ )}のべき乗のランクを分析することで、ジョルダン標準形の構造を確定できます。これを確認するには、 n × n行列A が1 つの固有値λのみを持つと仮定します。したがって、m ( λ ) = n です。最小の整数k ₁は、

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

は、 Aのジョルダン形式における最大のジョルダンブロックのサイズです。（この数値k _1はλのインデックスとも呼ばれます。次のセクションで説明します。）ランクは

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

はサイズk ₁のジョルダンブロックの数です。同様に、ランクは

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

これは、サイズk ₁のジョルダン ブロックの数の 2 倍と、サイズk ₁ − 1のジョルダン ブロックの数の合計です。一般の場合も同様です。

これは、ジョルダン標準形の一意性を示すために使用できます。J 1 と J 2 を A の 2 つのジョルダン標準形とします。_このとき_、 J 1とJ 2_は相似で_あり、固有値の代数的重複度を含めて同じスペクトルを持ちます。前の段落で概説した手順を使用して、これらの行列の構造を決定できます。相似変換によって行列のランクが保存されるため、J ₁とJ ₂のジョルダンブロックの間には全単射が存在します。これにより、命題の一意性部分が証明されます。

ジョルダン標準形を用いると、直接計算により多項式関数計算のスペクトル写像定理が得られます。Aを固有値λ ₁、 ...、λ _nを持つn × n行列とすると、任意の多項式pに対して、p ( A ) は固有値p ( λ ₁ ) 、 ...、p ( λ _n ) を持ちます。

Aの特性多項式は${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$類似行列は同じ特性多項式を持つ。したがって、${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$、 どこ${\displaystyle \lambda _{i}}$はi番目の根です${\textstyle p_{J}}$そして${\displaystyle m_{i}}$これは明らかにAのジョルダン形式の特性多項式であるため、その重複度です。

ケイリー・ハミルトンの定理は、すべての行列A がその特性方程式を満たすと主張します。pがAの特性多項式である場合、${\displaystyle p_{A}(A)=0}$これは、ジョルダン形式で直接計算することで示すことができます。${\displaystyle \lambda _{i}}$は重複度を持つ固有値である${\displaystyle m_{i}}$すると、ジョーダンブロック${\displaystyle J_{i}}$明らかに満たす${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$斜めのブロックは互いに影響し合わないため、${\displaystyle i}$の 番目の対角ブロック${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$は${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$;したがって${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$。

ジョルダン形式は、例えばpの分解体のように、行列の基本体を超える体上で存在すると仮定できます。この体拡張は、行列p ( A )をいかなる形でも変更しません。

正方行列Aの最小多項式P は、次数が最小のmである唯一の単項式多項式で、 P ( A ) = 0となるものです。あるいは、与えられたAを零化する多項式の集合は、複素係数多項式の主イデアル領域であるC [ x ]においてイデアルIを形成します。Iを生成する単項式要素はまさにPです。

λ ₁、 ...、λ _{q を}Aの異なる固有値とし、s i_をλ _iに対応する最大のジョルダンブロックのサイズとする。ジョルダン標準形から、 Aの最小多項式の次数がΣ s _iであることは明らかである。

ジョルダン標準形は最小多項式を決定しますが、その逆は成り立ちません。このことから、基本因子という概念が生まれます。正方行列Aの基本因子は、そのジョルダンブロックの特性多項式です。最小多項式mの因子は、異なる固有値に対応する次数が最大の基本因子です。

基本因子の次数は、対応するジョルダンブロックのサイズ、すなわち対応する不変部分空間の次元に等しい。すべての基本因子が線形であれば、Aは対角化可能である。

n × n行列Aのジョルダン形式はブロック対角行列であり、したがってn次元ユークリッド空間をAの不変部分空間に分解します。各ジョルダンブロックJ _{i は}不変部分空間X _iに対応します。記号的に、次のようにします。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

ここで、各X _{i は}対応するジョルダン鎖のスパンであり、kはジョルダン鎖の数である。

ジョルダン形式を用いると、わずかに異なる分解も得られる。固有値λ _iが与えられたとき、それに対応する最大のジョルダンブロックs _iのサイズをλ _iのインデックスと呼び、 v ( λ _i )と表記する。（したがって、最小多項式の次数はすべてのインデックスの合計である。）部分空間Y _{i を}次のように定義する。

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

これにより分解が得られます

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

ここで、lはAの異なる固有値の数です。直感的には、同じ固有値に対応するジョルダンブロック不変部分空間をまとめて考えます。Aが単位行列の倍数である極端な場合、k = nかつl = 1 となります。

Y _iおよび他のすべてのY _j ( j ≠ i )に沿った射影は、 v _iにおけるAのスペクトル射影と呼ばれ、通常P ( λ _i  ; A )で表されます。スペクトル射影は、 i ≠ jの場合、 P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0という意味で互いに直交します。また、スペクトル射影はAと可換であり、それらの和は単位行列になります。ジョルダン行列Jのすべての v _{i を}1 に置き換え、他のすべてのエントリをゼロにすると、P (v _i ; J )が得られます。さらに、UJU ^−1がA = UJU ⁻¹となるような相似変換である場合、P ( λ _i ; A ) = UP ( λ _i ; J ) U ⁻¹となります。スペクトル射影は有限次元に限定されません。コンパクト演算子への応用については後述し、より一般的な議論については正則関数計算を参照してください。   

2つの分解を比較すると、一般にl ≤ kであることがわかります。A が正規作用素の場合、最初の分解における部分空間X _iは 1 次元で互いに直交します。これは正規作用素に対するスペクトル定理です。2番目の分解は、バナッハ空間上の一般的なコンパクト作用素に対してより容易に一般化できます。

ここで、指数ν ( λ )のいくつかの性質に注目しておくと興味深いかもしれません。より一般的には、複素数λに対して、その指数は、以下の条件を満たす最小の非負整数ν ( λ )として定義できます。

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

したがって、ν (v) > 0 は、 λ がAの固有値である場合に限り成り立ちます。有限次元の場合、ν (v) ≤ vの代数的重複度となります。

ジョルダン形式は、共役を除いて行列の正規形を見つけるために使用され、正規行列は周囲の行列空間において低い固定次数を持つ代数多様体を構成する。

ジョルダン標準形または一般的に有理標準形の行列共役類の代表集合は、周囲の行列空間において線形部分空間またはアフィン部分空間を構成しない。

ウラジミール・アーノルドは^{[ 16 ]}で、次のような問題を提起した。体上の行列の標準形を見つけ、行列共役類の代表の集合がアフィン線形部分空間（フラット）の和集合となるようにする。言い換えれば、行列共役類の集合を元の行列の集合に単射的に写像し、この埋め込みの像（すべての正規行列の集合）が可能な限り低い次数を持つようにする。つまり、シフトされた線形部分空間の和集合となるようにする。

代数的に閉じた体については、Peteris Daugulis によって解決されました。^{[ 17 ]}行列の一意に定義された平面正規形 の構成は、そのジョルダン正規形を考慮することから始まります。

X をバナッハ空間とし、L ( X )をX上の有界作用素、σ ( T )をT ∈ L ( X )のスペクトルとする。正則関数計算は次のように定義される。

有界作用素Tを固定する。σ ( T )を含むある開集合G上で正則な複素関数族 Hol( T ) を考える。Γ = { γ _i } をσ ( T ) が Γ の内部にあるような有限個のジョルダン曲線の集合とし、 f ( T ) を次のように定義する。

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

開集合G はfによって変化する可能性があり、連結である必要はありません。積分は、スカラーの場合と同様に、リーマン和の極限として定義されます。積分は連続fに対して意味を持ちますが、古典的な関数論の仕組み (例えば、コーシー積分公式) を適用するために、正則関数に限定します。σ ( T ) が Γ の内部にあるという仮定は、f ( T ) が適切に定義されていることを保証します。これはΓ の選択に依存しません。関数計算は、Hol( T ) からL ( X )への写像 Φ で、次のように与えられます。

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

この関数計算には、以下の性質が必要となります。

1. Φは多項式関数計算を拡張する。
2. スペクトルマッピング定理は、σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )) が成り立つ。
3. Φ は代数準同型性です。

有限次元の場合、σ ( T ) = { λ _i } は複素平面上の有限離散集合です。e _{i を、} λ i_のある開近傍で 1 であり、それ以外の場所では 0 である関数とします。関数計算の性質 3 により、演算子は

${\displaystyle e_{i}(T)}$

は射影である。さらに、ν _{i を}λ _iのインデックスとし、

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

スペクトルマッピング定理によれば、

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

スペクトルは{0}である。性質1により、f ( T )はジョルダン形式で直接計算でき、確認すると、演算子f ( T ) e _i ( T )はゼロ行列であることがわかる。

性質3より、f ( T ) eᵢ ( T ) = eᵢ ( T ) f ( T )と_なる。したがって、_eᵢ ( T )はまさに部分空間への射影である_。

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

関係

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

暗示する

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

ここで、添え字iはTの異なる固有値を順にたどる。これは不変部分空間分解である。

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

前のセクションで述べたとおりです。各e _i ( T ) は、 λ _iに対応するジョルダン鎖によって張られる部分空間と、 j ≠ iの場合のv _jに対応するジョルダン鎖によって張られる部分空間への射影です。言い換えれば、e _i ( T ) = P ( λ _i ; T ) です。この演算子e _i ( T ) の明示的な識別により、行列に対する正則関数計算の明示的な形式が得られます。

すべてのf ∈ Hol( T )に対して、

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

f ( T )の式が有限和であることに注意してください。これは、v _iの各近傍で、 v _iを中心とするfのテイラー級数展開を選択したためです。

Tを有界作用素とし、λをσ ( T )の孤立点とする。（前述のように、Tがコンパクトな場合、極限点0を除いて、そのスペクトル内のすべての点は孤立点となる。）

点λは、レゾルベント関数R _Tが次のように定義される場合、次数νの演算子Tの極と呼ばれます。

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

はλに次数νの極を持ちます。

有限次元の場合、固有値の位数はその指数と一致することを示す。この結果はコンパクト作用素の場合にも成り立つ。

固有値λを中心とし、半径εが十分に小さい環状領域Aを考えます。開円盤Bε ₍ λ )とσ ( T )の交点は{ λ }です。レゾルベント関数R _TはA上で正則です。古典関数論の結果を拡張すると、R _TはA上でローラン級数表現を持ちます。

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

どこ

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$Cはλを中心とする小さな円である。 

関数計算に関するこれまでの議論から、

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$どこ${\displaystyle e_{\lambda }}$1位${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$それ以外の場所では0。

しかし、我々は、最小の正の整数mが

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$そして${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

はまさにλのインデックス、ν ( λ )です。言い換えれば、関数RT_はλにおいてν ( λ )の極を持ちます。