形状最適化

形状最適化は最適制御理論の分野の一部です。典型的な問題は、与えられた制約を満たしながら特定のコスト関数を最小化する最適な形状を見つけることです。多くの場合、解決される関数は、変数領域で定義された 特定の偏微分方程式の解に依存します。

さらに、トポロジー最適化は、ドメインに属する接続されたコンポーネント/境界の数に関係します。このような方法が必要なのは、通常、形状最適化方法は、固定数の穴があるなど、固定されたトポロジー特性を持つ許容される形状のサブセットで機能するためです。トポロジー最適化技術は、純粋な形状最適化の制限を回避するのに役立ちます。

数学的には、形状最適化は、関数を最小化する有界集合を 見つける問題として提示することができます。${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$、

おそらく、形式の 制約を受ける

${\displaystyle {\mathcal {G}}(\Omega )=0.}$

通常、私たちが関心を持つのは、リプシッツ境界または C ¹境界であり、有限個のコンポーネントで構成される集合です。つまり、粗雑な断片の寄せ集めではなく、かなり満足のいく形状をソリューションとして見つけたいということです。問題の適切性とソリューションの一意性を保証するために、追加の制約を課す必要がある場合もあります。 ${\displaystyle \オメガ}$

形状最適化は、無限次元の最適化問題です。さらに、最適化が実行される許容形状の空間はベクトル空間構造を許容しないため、従来の最適化手法の適用が困難になります。

形状最適化問題は通常、反復法を使用して数値的に解決されます。つまり、形状の初期推測から始めて、徐々に形状を進化させ、最適な形状に変形させます。

形状最適化問題を解決するには、コンピュータのメモリ内で形状を表現する方法を見つけ、その変化を追跡する必要があります。通常、いくつかのアプローチが使用されます。

1 つのアプローチは、形状の境界をたどることです。そのためには、形状の境界を比較的密で均一な方法でサンプリングします。つまり、形状の十分に正確なアウトラインを取得するために十分な点を考慮します。次に、境界点を徐々に移動することで、形状を進化させることができます。これはラグランジュ アプローチと呼ばれます。

もう 1 つのアプローチは、形状の周囲の長方形のボックス上に定義された関数を検討することです。この関数は、形状の内側では正、形状の境界では 0、形状の外側では負です。次に、形状自体の代わりにこの関数を展開します。ボックス上に長方形のグリッドを検討し、グリッド ポイントで関数をサンプリングします。形状が展開しても、グリッド ポイントは変化せず、グリッド ポイントでの関数値のみが変化します。固定グリッドを使用するこのアプローチは、オイラー アプローチと呼ばれます。関数を使用して形状を表すというアイデアは、レベル セット法の基礎となっています。

3つ目のアプローチは、形状の進化を流れの問題として考えることである。つまり、形状は塑性材料で徐々に変形し、形状の内部または境界上の任意の点が常に元の形状の点に1対1で遡れると想像できる。数学的には、が初期形状で、が時刻tにおける形状である場合、微分同相写像を考える。${\displaystyle \オメガ_{0}}$${\displaystyle \Omega_{t}}$

${\displaystyle f_{t}:\Omega _{0}\to \Omega _{t},{\mbox{ }}0\leq t\leq t_{0}.}$

ここでも、形状は直接扱うのが難しいエンティティであるため、関数を使用して操作するというのが考え方です。

滑らかな速度場と、速度場における初期領域の変換族を考えます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle \オメガ_{0}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle x(0)=x_{0}\in \Omega _{0},\quad x'(s)=V(x(s)),\quad T_{s}(x_{0})=x(s),\quad s\geq 0}$、

およびを表す

${\displaystyle \Omega _{0}\mapsto T_{s}(\Omega _{0})=\Omega _{s}.}$

すると、形状に関する ガトーまたは形状微分は、${\displaystyle {\mathcal {F}}(\Omega )}$${\displaystyle \オメガ_{0}}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\lim _{s\to 0}{\frac {{\mathcal {F}}(\Omega _{s}) -{\数学 {F}}(\オメガ _{0})}{s}}}$

この極限が存在する場合。さらに導関数が に関して線形である場合、 の一意の元が存在し、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}\in L^{2}(\partial \Omega _{0})}$

${\displaystyle d{\mathcal {F}}(\Omega _{0};V)=\langle \nabla {\mathcal {F}},V\rangle _{\partial \Omega _{0}}}$

ここで、は形状勾配と呼ばれます。これは、コスト関数の値を減らすために境界が負の形状勾配の方向に進化する、勾配降下法の自然なアイデアを与えます。高次の導関数も同様に定義でき、ニュートンのような方法につながります。 ${\displaystyle \nabla {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \partial \Omega }$

通常、目的関数の2 次導関数 (つまり、ヘッセ行列) を計算するのが難しい場合があるため、多数の反復が必要な場合でも、勾配降下法が好まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

形状最適化問題に制約がある場合、つまり関数 が存在する場合は、制約付きの問題を制約なしの問題に変換する方法を見つける必要があります。場合によっては、随伴状態法のようなラグランジュ乗数に基づくアイデアが機能することがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

ジオメトリのパラメータ化が定義されている場合、標準的な最適化方法を使用して形状の最適化に取り組むことができます。このようなパラメータ化は、目標関数が通常、数値モデル (CFD、FEA など) を使用して評価される複雑な関数である CAE 分野では非常に重要です。幅広い種類の問題に適した便利なアプローチは、関数評価に必要なすべてのプロセス (メッシュ作成、解決、結果処理) の完全な自動化と組み合わせた CAD モデルのパラメータ化です。メッシュ モーフィングは、計算された目的関数と制約関数の不連続性など、再メッシュに関連する一般的な問題を解決する複雑な問題に対する有効な選択肢です。

この場合、パラメータ化は、メッシュ更新方法を使用して変更される計算に使用される数値モデルに直接作用するメッシュ化段階の後に定義されます。メッシュ モーフィングには、いくつかのアルゴリズムがあります (変形ボリューム、擬似ソリッド、ラジアル ベース関数)。パラメータ化アプローチの選択は、主に問題のサイズによって異なります。CAD アプローチは小～中規模のモデルに適していますが、メッシュ モーフィング アプローチは大規模および非常に大規模なモデルに最適です (場合によっては、唯一の実行可能なアプローチです)。多目的パレート最適化 (NSGA II) は、形状最適化の強力なアプローチとして使用できます。この点で、パレート最適化アプローチは、他の多目的最適化では宣言できない領域制約の効果など、設計方法に有用な利点を示します。ペナルティ関数を使用するアプローチは、最適化の最初の段階で使用できる効果的な手法です。この方法では、目的関数の制約をペナルティ係数として使用して、制約付き形状設計問題を制約のない問題に適応させます。ほとんどの場合、ペナルティ係数は制約の数ではなく制約の変化の量に依存します。現在の最適化問題では、GA実数コード化手法が適用されます。したがって、計算は変数の実際の値に基づいています。^[1]

• SU2 コード
• 位相微分
• トポロジー最適化

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