量子化状態システム法

量子化状態システム( QSS )法は、従来の時間離散化の考え方と双対となる状態量子化の考え方に基づく数値積分ソルバーのファミリーです。時間を離散化し、連続する各時間ステップで次の (実数値の) 状態を解くことで問題にアプローチする従来の数値解法とは異なり、QSS 法は時間を連続したエンティティとして保持し、システムの状態を量子化し、状態が量子化された値から量子だけ逸脱する時間を解きます。

また、従来のアルゴリズムに比べて多くの利点があります。^[1] 離散イベントと非同期の性質により、システム内の不連続性をモデル化できます。また、明示的なアルゴリズムを使用して明示的にルート検索とゼロ交差の検出が可能になり、反復の必要性が回避されます。これは、従来の時間ステップ法では次のシステム状態を暗黙的に解く必要があるため、計算に大きなペナルティが発生する硬いシステムの場合に特に重要です。最後に、QSS 法は、以下に説明するように、従来のソリューション手法では満たされない、優れたグローバル安定性と誤差境界を満たします。

そのため、QSS 法は、その性質上、連続時間システムの離散時間モデルを形成する従来の方法とは対照的に、離散イベント計算モデルであるDEVS形式によって適切にモデル化されます。そのため、QSS 法は、このような離散イベント システム用のシミュレーション エンジン である[PowerDEVS]に実装されています。

2001年に、エルネスト・コフマンは量子化状態システムシミュレーション法の注目すべき性質を証明した^{[2] 。すなわち、この手法を}安定な 線形時不変（LTI）システム を解くために使用した場合、グローバルエラーは量子に比例する定数で制限されるが、（重要なことに）シミュレーションの継続時間には依存しない。より具体的には、状態遷移行列 と入力行列を持つ安定な多次元LTIシステムの場合、絶対エラーベクトルは によって制限されること が[CK06]で示された。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle {\vec {e}}(t)}$

${\displaystyle \left|{\vec {e}}(t)\right|\leq \left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right|\ \left|V^{-1}\right|\ \Delta {\vec {Q}}+\left|V\right|\ \left|\Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right|\ \Delta {\vec {u}}}$

ここで、は状態量子のベクトル、は入力信号に採用された量子のベクトル、はの固有分解またはジョルダン標準形、 は要素ごとの絶対値演算子を表します（行列式またはノルムと混同しないでください）。 ${\displaystyle \Delta {\vec {Q}}}$${\displaystyle \Delta {\vec {u}}}$${\displaystyle V\Lambda V^{-1}=A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left|\,\cdot \,\right|}$

この注目すべき誤差限界には代償があることは注目に値します。安定した LTI システムのグローバル誤差も、ある意味では、少なくとも一次 QSS1 法では、量子自体によって下方に制限されます。これは、近似値が正しい値と正確に一致しない限り(これはほぼ確実には起こりません)、状態は常に (定義により) 平衡から 1 量子だけ変化することが保証されているため、平衡の周りで振動し続けるだけだからです。この状態を回避するには、従来の離散時間シミュレーション アルゴリズムの適応ステップサイズ法に類似した方法で量子を動的に下げる信頼性の高い手法を見つける必要があります。

初期値問題を次のように指定します。

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t),t),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

QSS1として知られる1次QSS法は、上記のシステムを次のように近似します。

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(q(t),t),\quad q(t_{0})=x_{0}.}$

ここで、およびはヒステリシス量子化関数によって関連付けられる。${\displaystyle x}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle q(t)={\begin{cases}x(t)&{\text{if }}\left|x(t)-q(t^{-})\right|\geq \Delta Q\\q(t^{-})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ここで は量子と呼ばれます。この量子化関数はメモリを持っているためヒステリシスがあることに注意してください。つまり、その出力は現在の状態 の関数であるだけでなく、以前の値 にも依存します。 ${\displaystyle \デルタQ}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle q(t^{-})}$

したがって、この定式化では、状態が 1 量子だけこの近似から逸脱するとすぐに値を更新する 区分定数関数 によって状態を近似します。${\displaystyle q(t)}$

このシステムの多次元定式化は、上記の一次元定式化とほぼ同じです。量子化された状態は、対応する状態 の関数であり、状態ベクトルは、量子化された状態ベクトル全体の関数です。 ${\displaystyle k^{\text{th}}}$${\displaystyle q_{k}(t)}$${\displaystyle x_{k}(t)}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle {\vec {q}}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}(t)=f({\vec {q}}(t),t)}$

2 次 QSS 法である QSS2 は、QSS1 と同じ原理に従いますが、2 つの量子が互いに 1 量子異なるとすぐに軌道を更新する軌道の区分線形近似として定義する点が異なります。このパターンは高次近似にも続き、量子化された状態をシステムの状態の連続した高次多項式近似として定義します。 ${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle q(t)}$

原則として、任意次数の QSS 法を使用して連続時間システムをモデル化できますが、アベル・ルフィニの定理によれば、多項式近似の次数が 4 より大きい場合、次の量子化の時間 は(一般に) 明示的に代数的に解くことができず、したがって根探索アルゴリズム を使用して反復的に近似する必要があるため、4 次以上の方法を使用することはほとんど望ましくないことに注意することが重要です。実際には、QSS2 または QSS3 は多くの問題に対して十分であることが証明されており、高次の方法を使用しても、追加の利点はほとんどありません (あったとしても)。 ${\displaystyle t}$

QSS メソッドは離散イベント システムとして実装でき、任意のDEVSシミュレーターでシミュレートできます。

QSS法は、 PowerDEVS [BK011]ソフトウェアの主な数値ソルバーを構成します 。スタンドアロンバージョンとしても実装されています。

• [CK06]フランソワ E. セリエ & エルネスト コフマン (2006)。連続システム シミュレーション(初版)。スプリンガー。ISBN 978-0-387-26102-7。
• [BK11] Bergero, Federico & Kofman, Ernesto (2011)。「PowerDEVS: ハイブリッド システム モデリングとリアルタイム シミュレーションのためのツール」(初版)。Society for Computer Simulation International、サンディエゴ。

• QSSメソッドのスタンドアロン実装
• SourceForge の PowerDEVS