幾何学積分器

数値常微分方程式の数学的分野において、幾何積分法は、微分方程式の 正確な流れの幾何学的特性を保存する数値手法です。

振り子の運動を考慮することによって、幾何学的積分器の研究を進めることができます。

振り子の錘に質量があり、長さ の棒に質量がないと仮定します。重力加速度を とします。棒の垂直からの角度変位を 、振り子の運動量を とします。系のハミルトニアンは、運動エネルギーと位置エネルギーの合計です。 ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle \ell =1}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle p(t)}$

$${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$$

これはハミルトン方程式を与える

$${\displaystyle ({\dot {q}},{\dot {p}})=\left({\frac {\partial H}{\partial p}},-{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)=(p,-\sin q).\,}$$

すべての配置空間を 単位円 とするのが自然で、その場合 は円筒 上にあります。しかし、 とします。これは、その方が -空間をプロットしやすいためです。と を定義します。いくつかの簡単な数値法を使用してこのシステムを積分して実験してみましょう。通常どおり、一定のステップ サイズ を選択し、任意の非負の整数 を と書きます。次の方法を使用します。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle (q,p)}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (q,p)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (q,p)}$${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{k}:=z(kh)}$

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,}$（明示的なオイラー）、

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,}$（暗黙のオイラー）、

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,}$（シンプレクティックオイラー）、

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,}$(暗黙の中点ルール)。

(シンプレクティック オイラー法では、q を明示的オイラー法と暗黙的オイラー法で扱うことに注意してください。) ${\displaystyle p}$

ハミルトン方程式の解曲線に沿って一定である を観察すると、システムの正確な軌道を記述できます。これらはのレベル曲線です。 に、システムの正確な軌道と数値解をプロットします。 明示的および暗黙的なオイラー法では、 、z ₀ = (0.5, 0)および(1.5, 0)をそれぞれ採用します。他の 2 つの方法では、 、z ₀ = (0, 0.7)、(0, 1.4)および(0, 2.1)を採用します。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle p^{2}/2-\cos q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle h=0.2}$${\displaystyle h=0.3}$

明示的（または暗黙的）オイラー法は、原点から螺旋状に（または原点に螺旋状に）進みます。他の 2 つの方法は、暗黙的中点ルールがシンプレクティック オイラー法よりも正確な解と一致するなど、正しい定性的な動作を示します。

1自由度のハミルトン系の 正確な流れは面積保存型であることを思い出してください。この式は手で簡単に確認できます。振り子の例では、明示的なオイラー法の数値フローは面積保存型ではないこと がわかります。つまり、 ${\displaystyle \phi_{t}}$$${\displaystyle \det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1~{\text{ すべての }}~t に対して。}$$${\displaystyle \Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}}$

$${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={ \begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$$

同様の計算は、暗黙のオイラー法でも実行でき、行列式は

$${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=( 1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}$$

しかし、シンプレクティックオイラー法は面積を保存します。

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}$$

したがって、暗黙の中点ルールには同様の幾何学的特性があります。 ${\displaystyle \det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1}$

要約すると、振り子の例は、明示的および暗黙的なオイラー法が問題を解決する方法として適切ではないことに加えて、シンプレクティック オイラー法と暗黙的な中点ルールがシステムの正確な流れとよく一致し、中点ルールの方がより密接に一致することを示しています。さらに、後者の 2 つの方法は、正確な流れと同様に面積を保存します。これらは、幾何学的 (実際にはシンプレクティック) 積分器の 2 つの例です。

移動フレーム法は、常微分方程式のリー 対称性を保存する数値解析法を構築するために使用できます。ルンゲ・クッタ法などの既存の方法は、移動フレーム法を使用して変更し、不変バージョンを作成することができます。^[1]

• エネルギードリフト
• 模倣（数学）

• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2002)。『幾何数値積分：常微分方程式の構造保存アルゴリズム』Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2。
• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005)。ハミルトン力学のシミュレーション。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-77290-7。
• Budd, CJ; Piggott, MD (2003). 「幾何積分とその応用」. 数値解析ハンドブック. 第 11 巻. Elsevier. pp. 35–139. doi :10.1016/S1570-8659(02)11002-7. ISBN 9780444512475。
• Kim, Pilwon (2007)。「移動フレームを使用した数値スキームの不変量化」。BIT 数値数学。第 47 巻、第 3 号。Springer。pp. 525–546。doi :10.1007/s10543-007-0138-8。