対照的な変種

統計学において、対立変数法はモンテカルロ法で使用される分散低減手法です。モンテカルロ法を用いたシミュレーション信号の誤差は1/√平方根収束することを考慮すると、正確な結果を得るには非常に多くのサンプルパスが必要となります。対立変数法はシミュレーション結果の分散を低減します。^{[ 1 ] [ 2 ]}

対照変数法は、得られた各サンプルパスに対して、その対照パスを取ることによって成り立っています。つまり、パスが与えられます。${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$さらに、${\displaystyle \{-\varepsilon _{1},\dots ,-\varepsilon _{M}\}}$この手法の利点は2つあります。N個のパスを生成するために採取する正常サンプルの数を減らすこと、そしてサンプルパスの分散を減らして精度を向上させることです。

推定したいと仮定します

${\displaystyle \theta =\mathrm {E} (h(X))=\mathrm {E} (Y)\,}$

そのため、2つのサンプルを生成しました。

${\displaystyle Y_{1}{\text{ and }}Y_{2}\,}$

偏りのない推定値${\displaystyle {\theta }}$は

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {Y_{1}+Y_{2}}{2}}.}$

そして

${\displaystyle {\text{Var}}({\hat {\theta }})={\frac {{\text{Var}}(Y_{1})+{\text{Var}}(Y_{2})+2{\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})}{4}}}$

したがって、分散は減少します。${\displaystyle {\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2})}$負の値です。

変数Xの法則が[0, 1] に沿った一様分布に従う場合 、最初のサンプルは次のようになります。 ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ここで、任意のiに対して、${\displaystyle u_{i}}$U (0, 1)から得られる 。2番目のサンプルは以下から構築される。 ${\displaystyle u'_{1},\ldots ,u'_{n}}$ここで、任意のiに対して：${\displaystyle u'_{i}=1-u_{i}}$セットの場合${\displaystyle u_{i}}$は [0,  1] に沿って均一なので、${\displaystyle u'_{i}}$さらに、共分散は負の値であるため、初期分散の減少が可能となる。

見積もりたい

${\displaystyle I=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\,\mathrm {d} x.}$

正確な結果は ${\displaystyle I=\ln 2\approx 0.69314718}$この積分は、の期待値と見なすことができる。 ${\displaystyle f(U)}$、 どこ

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}}$

また、Uは[0, 1]の一様分布に従う。  

次の表は、古典的なモンテカルロ推定値（サンプルサイズ：2 n、n  =  1500）と対照変数推定値（サンプルサイズ：n、変換されたサンプル1 − u _iで補完）を比較したものです。  

対照変数法を用いて結果を推定すると、重要な分散の減少が見られる。

• 制御変数