離散外微分法

数学において、離散外微分法（DEC ）は、グラフ、有限要素メッシュ、そして最近では一般的な多角形メッシュ（非平面かつ非凸） ^{[ 1 ]}を含む離散空間への外微分法の拡張です。DEC法は、有限要素法の改善と解析において非常に強力であることが証明されています。例えば、DECベースの手法では、非常に不均一なメッシュを使用して正確な結果を得ることができます。不均一なメッシュは、シミュレーション対象のプロセスが比較的単純な場合には大きな要素を使用できるのに対し、プロセスが複雑な場合（例えば、流体の流れを妨げる障害物の近く）には細かい解像度を使用することができ、均一に細かいメッシュを使用する場合よりも計算能力を少なくできるという利点があります。

ストークスの定理は、n次元多様体Mの境界∂M上の微分( n - 1)形式ωの積分と、 M自体上のdω（ωの外微分であり、 M上の微分n形式）の積分との関係を示している。  

$\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega .}$

微分k形式は、k次元空間の「ビット」に作用する線形演算子と考えることができ、その場合、双対ペアリングには括弧表記を用いる方が望ましいかもしれない。この表記では、ストークスの定理は次のように表される。

${\displaystyle \langle \mathrm {d} \omega \mid M\rangle =\langle \omega \mid \partial M\rangle .}$

有限要素解析では、最初の段階として、対象領域を三角形分割Tで近似することがよくあります。たとえば、曲線は直線セグメントの和集合として近似され、曲面は、辺が直線セグメントであり、それ自体が点で終わる三角形の和集合によって近似されます。トポロジーでは、このような構成を単体複体と呼びます。この三角形分割/単体複体Tの境界演算子は、通常の方法で定義されます。たとえば、L が1点aから別の点bへの有向線分である場合、 Lの境界 ∂ Lは形式的な差b − aです。  

T上のk形式とは、 Tのk次元部分複体に作用する線形演算子のことです。例えば、0 形式は点に値を割り当て、線形的に点の線形結合に拡張します。1 形式は同様に線形的に線分に値を割り当てます。ωがT上のk形式である場合、ωの離散外微分dωは、ストークスの定理が成り立つように定義された唯一の ( k + 1) 形式です。  

${\displaystyle \langle \mathrm {d} \omega \mid S\rangle =\langle \omega \mid \partial S\rangle .}$

Tのすべての ( k  +  1) 次元部分複合体Sについて。

離散ウェッジ積[ ^{2 ]ホッジ}スターやリー微分などの他の演算子や演算も定義できます。

• 離散微分幾何学
• 離散モース理論
• 位相的組み合わせ論
• 離散微積分

• 一般多角形メッシュ上の単純かつ完全な離散外微分法、Ptackova, Lenka および Velho, Luiz、Computer Aided Geometric Design、2021、DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102002
• 離散微積分、Grady、Leo J.、Polimeni、Jonathan R.、2010
• ヒラニの離散外微分法に関する論文
• 多角形メッシュ上の外微分法の主成分間離散化、Ptackova, L. および Velho, L.、2017 年幾何処理シンポジウム、DOI: 10.2312/SGP.20171204
• ポアソン問題に対する離散外微分近似の収束性、E. Schulz & G. Tsogtgerel、Disc. Comp. Geo. 63(2), 346 - 376, 2020
• 弾性の幾何学的離散化について、Arash Yavari、J. Math. Phys. 49、022901 (2008)、DOI:10.1063/1.2830977
• 離散微分幾何学：応用入門、キーナン・クレーン、2018年