浸漬境界法

数値流体力学において、埋め込み境界法は、もともと1972年にチャールズ・ペスキンが流体と構造（繊維）の相互作用をシミュレートするために開発した手法を指していました。 ^[1]構造変形と流体の流れの結合を扱うことは、数値シミュレーションにとって多くの困難な問題を提起します（弾性境界は流体の流れを変え、流体は同時に弾性境界を動かします）。埋め込み境界法では、流体はオイラー座標系で表され、構造はラグランジュ座標で表されます。ナビエ・ストークス方程式に支配されるニュートン流体の場合、流体方程式は次のようになります。

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {u}({x},t)}{\partial {t}}}+{u}\cdot \nabla {u}\right)=-\nabla p+\mu \,\Delta u(x,t)+f(x,t)}$

そして流れが非圧縮性である場合、さらに次の条件が成立する。

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.\,}$

浸漬構造は、通常、 で表される 1 次元繊維の集合として表されます。各繊維は、が繊維に沿ったラグランジュ座標で、 が時間のパラメトリック曲線として見ることができます。繊維の物理的性質は、繊維力分布関数 によって表されます。この項には、バネ力、曲げ抵抗、またはその他のタイプの動作を組み込むことができます。構造によって流体に及ぼされる力は、次の式を使用して運動量方程式のソース項として補間されます。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle X(s,t)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F(s,t)}$

${\displaystyle f(x,t)=\int _{\Gamma }F(s,t)\,\delta {\big (}xX(s,t){\big )}\,ds,}$

ここで、はディラックのδ関数である。この力は、弾性表面や3次元の固体をモデル化するために、複数の次元に拡張することができる。質量のない構造を想定すると、弾性繊維は局所的な流体速度とともに動き、デルタ関数を介して補間することができる。 ${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle {\frac {\partial X(s,t)}{\partial t}}=u(X,t)=\int _{\Omega }u(x,t)\,\delta {\big (}xX(s,t){\big )}\,dx,}$

ここで、 は流体ドメイン全体を表します。これらの方程式の離散化は、流体にオイラーグリッド、ファイバーに別のラグランジュグリッドを想定することで実行できます。デルタ分布をより滑らかな関数で近似すると、2 つのグリッド間を補間できます。既存の流体ソルバーをファイバー方程式のソルバーと結合して、浸漬境界方程式を解くことができます。この基本的なアプローチのバリエーションは、流体の流れと相互作用する弾性構造を含むさまざまな機械システムをシミュレートするために適用されています。 ${\displaystyle \オメガ}$

Peskin によるこの方法の最初の開発以来、さまざまなアプローチが開発されてきました。これには、微視的システム、粘弾性ソフトマテリアル、複雑な流体に対する確率論的定式化（Atzberger、Kramer、Peskin の確率論的浸漬境界法など）^{[2] [3]}、物体の表面に適合しないグリッド上で複雑な浸漬固体上の流れをシミュレートする方法（Mittal と Iaccarino）^[4]、および質量と回転の自由度を組み込んだその他のアプローチ（Olson、Lim、Cortez ^{[5]）が含まれます。複雑な物体形状に対する方法には、浸漬界面法、直交グリッド法、ゴースト流体法、および浸漬境界法を}連続強制法と離散強制法 に分類するカットセル法が含まれます。粘弾性流体、曲がった流体界面、微視的生物物理学的システム（脂質二重膜中のタンパク質、スイマー）、人工デバイスのシミュレーションのための手法が開発されており、例えば、Atzberger、Kramer、Peskin の確率的浸漬境界法^{[6] [7]、} Atzberger の確率的オイラーラグランジアン法^{[8] [9] [10]} 、 Mori の質量浸漬境界法^{[11] 、Olson、Lim、Cortez の回転浸漬境界法[12] など}がある。

一般的に、浸漬境界法と関連する変種については、新しい技術と関連するソフトウェア実装を開発し、関連する技術をシミュレーション パッケージと CAD エンジニアリング ソフトウェアに組み込んでいる活発な研究コミュニティが存在します。詳細については、以下を参照してください。

• 確率的オイラーラグランジアン法
• ストークス力学
• 流体体積法
• レベルセット法
• マーカーと細胞法

• FloEFD: 商用 CFD IBM コード
• 高度なシミュレーションライブラリ
• Mango-Selm: 浸漬境界法と SELM シミュレーション、3D パッケージ、(Python インターフェイス、LAMMPS MD 統合)、P. Atzberger、UCSB
• 3D における確率的浸漬境界法、P. Atzberger、UCSB
• 2D における均一メッシュの浸漬境界法、A. Fogelson、ユタ州
• IBAMR: 3D の適応メッシュのための浸漬境界法、B. Griffith、NYU。
• IB2d: 60 以上の例を含む 2D の MATLAB および Python 用浸漬境界法、NA Battista、TCNJ
• ESPResSo: 柔らかい弾性体のための浸漬境界法
• OpenFoam に基づく CFD IBM コード
• sdfibm: OpenFoam に基づく別の CFD IBM コード
• SimScale: クラウドでの流体力学と共役熱伝達シミュレーションのための浸漬境界法

• Atzberger, Paul J. (2011). 「熱変動を伴う流体構造相互作用のための確率的オイラーラグランジアン法」。Journal of Computational Physics . 230 (8): 2821–2837. arXiv : 1009.5648 . Bibcode :2011JCoPh.230.2821A. doi :10.1016/j.jcp.2010.12.028. S2CID  6067032.
• Atzberger, Paul J.; Kramer, Peter R.; Peskin, Charles S. (2007). 「微視的長さスケールでの流体構造ダイナミクスのための確率的浸漬境界法」。Journal of Computational Physics . 224 (2): 1255–1292. arXiv : 0910.5748 . Bibcode :2007JCoPh.224.1255A. doi :10.1016/j.jcp.2006.11.015. S2CID  17977915.
• Atzberger, Paul (2013)、「複雑な流体と軟質材料のレオロジー研究のための確率的オイラーラグランジアン法へのせん断の組み込み」、Physica D、265 :57–70、arXiv : 2212.10651、doi :10.1016/j.physd.2013.09.002
• Jindal, S.; Khalighi, B.; Johnson, J.; Chen, K. (2007)、「複雑な空気力学流れ予測のための浸漬境界 CFD アプローチ」、SAE 技術論文シリーズ、第 1 巻、doi :10.4271/2007-01-0109。
• Atzberger, Paul (2016). 「湾曲した脂質二重膜に埋め込まれた粒子封入体の流体力学的結合」。Soft Matter 、英国王立化学協会。12 : 6685–6707。arXiv : 1601.06461。doi : 10.1039 / C6SM00194G 。。
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