スラープ

コンピュータグラフィックスにおいて、slerpは球面線形補間の略語であり、ケン・シューメイク^[1]が3D回転をアニメーション化する目的で四元数 補間の文脈で導入しました。これは、端点と0から1の間の補間パラメータが与えられた場合、単位半径の大円弧に沿った一定速度の動きを指します。

Slerp には、四元数や弧が埋め込まれている空間の次元に依存しない幾何学的公式があります。この公式は、Glenn Davis による対称加重和で、曲線上の任意の点は両端の線形結合でなければならないという事実に基づいています。p ₀とp _{1 を}弧の最初と最後の点とし、tをパラメータ ( 0 ≤ t ≤ 1)とします。Ω を弧が囲む角度として計算します。cos Ω = p ₀ ⋅ p ₁は、原点から両端までの単位ベクトルのn次元ドット積です。幾何学的公式は次のようになります。

${\displaystyle \operatorname {slerp} (p_{0},p_{1};t)={\frac {\sin {[(1-t)\Omega }]}{\sin \Omega }}p_{0}+{\frac {\sin[t\Omega ]}{\sin \Omega }}p_{1}.}$

対称性は、 slerp( p ₀ , p ₁ ; t ) = slerp( p ₁ , p ₀ ; 1 − t )という事実にあります。Ω → 0の極限では、この式は線形補間の対応する対称式に簡約されます。

${\displaystyle \operatorname {lerp} (p_{0},p_{1};t)=(1-t)p_{0}+tp_{1}.}$

スラープ パスは、実際には、平面上の線分に沿ったパスの球面幾何学的等価物です。大円は球面測地線です。

一般的な slerp 式よりも馴染み深いのは、端のベクトルが垂直である場合で、その場合の式はp ₀ cos θ + p ₁ sin θです。θ = t π /2とし、三角関数の恒等式cos θ = sin( π /2 − θ )を適用すると、これが slerp 式になります。 一般的な式の係数1/sin Ωは正規化です。これは、 p ₀に対して Ω の角度にあるベクトルp _{1 が}、長さがsin Ωだけの垂線 ⊥ p ₀に投影されるためです。

slerp の特殊なケースでは、より効率的な計算が可能です。ラスター画像に円弧を描く場合、推奨される方法はBresenhamの円アルゴリズムのバリエーションです。特殊なパラメータ値 0 と 1 での評価では、それぞれp ₀とp ₁が自明に得られます。また、二分法では、 ⁠での評価で、 1/2⁠ は、正規化されて( p ₀ + p ₁ )/2に簡略化されます。アニメーションで一般的なもう 1 つの特殊なケースは、固定端と等しいパラメトリック ステップによる評価です。p _{k −1}とp _{k が}2 つの連続した値であり、c がそれらのドット積の 2 倍 (すべてのステップで定数) である場合、次の値p _{k +1}は反射p _{k +1} = cp _k − p _{k −1}です。

slerp を単位四元数に適用すると、四元数パスは標準的な方法で 3D 回転のパスにマッピングされます。その効果は、固定された回転軸の周りの均一な角速度での回転です。最初のエンドポイントが恒等四元数の場合、 slerp は、3D 回転のリー群SO(3)と単位四元数のその普遍被覆群S ^{3 の}両方の1 パラメータ サブグループのセグメントを提供します。 slerp は、四元数エンドポイント間の最も直線で最短のパスを提供し、2Ω の角度の回転にマッピングします。ただし、被覆が二重であるため ( qと − q は同じ回転にマッピングされます)、回転パスは「短い方法」(180° 未満) または「長い方法」(180° 超) のいずれかになります。ドット積cos Ωが負の場合、一方の端を否定することで長い経路を防ぐことができ、これにより−90° ≤ Ω ≤ 90°が保証されます。

Slerp には、指数法を使用する四元数代数の表現もあります。四元数の実数べき乗は、 e ^qと表記される四元数指数関数で定義され、微積分、複素解析、行列代数で同様によく知られているべき級数で与えられます。

${\displaystyle e^{q}=1+q+{\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {q^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {q^{n}}{n!}}+\cdots .}$

単位四元数qをバーソル形式cos Ω + v sin Ωで書き、v を単位 3 ベクトルとし、四元数の平方v ^{2が −1 に等しいことに注目すると (}オイラーの公式の四元数バージョンを意味する)、 e ^{v Ω} = q、q ^t = cos t Ω + v sin t Ωとなります。 関心のある識別はq = q ₁ q ₀ ⁻¹であり、 qの実部はcos Ωであり、これは上で使用した幾何ドット積と同じです。 以下は、 slerp の同等の四元数式 4 つです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slerp} (q_{0},q_{1},t)&=q_{0}(q_{0}^{-1}q_{1})^{t}\\[6pt]&=q_{1}(q_{1}^{-1}q_{0})^{1-t}\\[6pt]&=(q_{0}q_{1}^{-1})^{1-t}q_{1}\\[6pt]&=(q_{1}q_{0}^{-1})^{t}q_{0}\end{aligned}}}$

両端が固定されていると仮定して、slerp( q ₀ , q ₁ ; t )のtに関する導関数は、関数値の log( q ₁ q ₀ ⁻¹ ) 倍になります。この場合、四元数の自然対数は 3D角速度ベクトルの半分になります。初期の接線ベクトルは、曲線に沿って各接線に平行移動されるため、曲線は確かに測地線です。

四元数スラープ曲線上の任意の点の接線空間では、指数写像の逆により曲線が線分に変換されます。点を通過しないスラープ曲線は、その点の接線空間で線に変換されません。

クォータニオン スラープは、ベジェ曲線のde Casteljau アルゴリズムのようなアフィン構造を模倣して滑らかなアニメーション曲線を作成するためによく使用されます。球はアフィン空間ではないため、アフィン構造の一般的な特性が機能しない可能性がありますが、構築された曲線は他の点では完全に満足のいくものになる可能性があります。たとえば、de Casteljau アルゴリズムはアフィン空間で曲線を分割するために使用できますが、これは球では機能しません。

2値スラープは、多くの単位四元数の間で補間するように拡張することができますが^[2]、拡張によりスラープアルゴリズムの 固定実行時間が失われます。

• 円弧補間
• 四元数と空間回転
• 球面平均（統計）