直接剛性法

構造工学において、直接剛性法はマトリックス剛性法とも呼ばれ、不静定型を含む複雑な構造のコンピュータによる自動解析に特に適した構造解析手法です。これは、構造内のメンバーの力と変位を計算するためにメンバーの剛性関係を使用するマトリックス法です。直接剛性法は、有限要素法(FEM)の最も一般的な実装です。この方法を適用するには、ノードで相互接続された一連のより単純な理想化された要素としてシステムをモデル化する必要があります。次に、これらの要素の材料剛性特性が線形代数によって、理想化された構造全体の動作を制御する単一のマトリックス方程式にコンパイルされます。この方程式を解くことで、構造の未知の変位と力を決定できます。直接剛性法は、ほとんどの商用および無料ソースの有限要素ソフトウェアの基礎を形成します。

直接剛性法は航空宇宙分野で生まれました。研究者は、複雑な飛行機のフレームを解析するためのさまざまなアプローチを検討しました。これには、弾性理論、構造力学におけるエネルギー原理、柔軟性法、マトリックス剛性法などが含まれます。これらの方法の分析を通じて、直接剛性法はコンピューター実装に最適な効率的な方法として浮上しました。

1934 年から 1938 年にかけて、AR Collarと WJ Duncan が、今日使用されているマトリックス システムの表現と用語を記載した最初の論文を発表しました。航空弾性の研究は第二次世界大戦中も続けられましたが、1938 年から 1947 年にかけての出版規制により、この研究の追跡は困難になっています。マトリックス構造解析における 2 番目の大きな進歩は、1954 年から 1955 年にかけて、John H. Argyris教授が、構造の要素コンポーネントを方程式のシステムにまとめるという概念を体系化した際に起こりました。最後に、1959 年 11 月 6 日に、ボーイングの構造ダイナミクス部門の責任者である MJ Turner が、コンピューター実装の効率的なモデルとして直接剛性法の概要を説明した論文を発表しました (Felippa 2001)。

典型的なメンバー剛性関係は、次の一般的な形式を持ちます。

どこ

m = メンバー番号m。

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= メンバーの特性力のベクトル。これは未知の内部力です。

${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$= 部材の変形に対する抵抗を特徴付ける部材剛性マトリックス。

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= メンバーの特性変位または変形のベクトル。

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$= メンバーに適用された外部効果（既知の力や温度変化など）によって生じるメンバーの特性力のベクトル。${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}$

が絶対変位ではなく部材の変形である場合、は独立した部材力であり、そのような場合には(1)を逆転させて、柔軟性法で使用されるいわゆる部材柔軟性行列を生成することができる。 ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

ノードと呼ばれる点で相互接続された多数のメンバーを持つシステムの場合、式(1)のようなメンバーの剛性関係は、次の観察を利用して統合することができます。

• メンバー間の互換性を確保するために、メンバーの変形はシステム節点変位rで表現できます。これは、 r が主要な未知数になることを意味します。${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$
• メンバー力は、ノード力Rの下でノードを平衡状態に保つのに役立ちます。これは、(1)の右辺が、システム全体の次のノード平衡方程式の右辺に統合されることを意味します。${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {R} }$= システムのノードに適用される外部の力を表すノード力のベクトル。

${\displaystyle \mathbf {K} }$= システム剛性マトリックス。メンバーの剛性マトリックスを組み立てることで確立されます。${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} }$= 任意の節点力Rを受けるシステムのすべての可能な変形構成を定義できるシステムの節点変位のベクトル。

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= 等価節点力のベクトル。先行する節点力ベクトルRにすでに含まれている節点力以外のすべての外部効果を表します。このベクトルは、メンバーのを組み立てることによって確立されます。${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

システム剛性行列K はベクトルRとrが同じサイズなので正方行列です。さらに、 は対称なので対称行列です。(2) でサポートの制約が考慮されると、節点の変位は線形方程式 (2) のシステムで記号的に解くことによって求められます。 ${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }$

次に、部材の特性力は式(1)から求めることができる。ここで、rは適合性を考慮して求めることができる。 ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$

式(1)は、 の形で表されるのが一般的です。ここで、および は、それぞれ、 rおよびRの方向に一致する部材端の変位と力です。このような場合、および は、部材のマトリックスおよびを直接加算することによって得られます。この方法は、直接剛性法として知られています。 ${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$${\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}$

マトリックス剛性法の利点と欠点は、柔軟性法の記事で比較され、説明されています。

直接剛性法を使用する際の最初のステップは、構造を構成する個々の要素を特定することです。

要素が識別されると、構造はノード、つまりさまざまな要素を接続するポイントで切断されます。

次に、各要素を個別に解析して、メンバーの剛性方程式を作成します。力と変位は、要素の形状と特性に依存する要素剛性マトリックスを通じて関連付けられます。

トラス要素は、圧縮または引張の力のみを伝達できます。つまり、2 次元では、各ノードに 2 つの自由度(DOF)、つまり水平方向と垂直方向の変位があります。結果として得られる方程式には、4 x 4 の剛性マトリックスが含まれます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}$

フレーム要素は、圧縮と張力に加えて曲げモーメントにも耐えることができます。これにより、水平方向の変位、垂直方向の変位、面内回転の 3 つの自由度が得られます。この場合の剛性マトリックスは 6 x 6 です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}& k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k _{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\シータ_{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\シータ _{z2}\\\end{bmatrix}}}$

プレートやシェルなどの他の要素も直接剛性法に組み込むことができ、同様の方程式を開発する必要があります。

個々の要素の剛性関係が構築されたら、それを元の構造に組み込む必要があります。このプロセスの最初のステップは、個々の要素の剛性関係を構造全体のグローバル システムに変換することです。トラス要素の場合、剛性法のグローバル形式は、グローバル座標系 (このシステムは通常、従来の直交座標系です) に対する要素の角度によって異なります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}$ （角度βのトラス要素の場合） 同様に、 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}$

ここで、およびはトラス要素の方向余弦です（つまり、メンバーと整列した単位ベクトルの成分です）。この形式は、この定式化で明らかなパターンを単純に拡張することで、要素の剛性を 3 次元空間トラスに一般化する方法を示しています。 ${\displaystyle c_{x}}$${\displaystyle c_{y}}$

要素剛性マトリックスをグローバル座標系で作成した後、それらを単一の「マスター」または「グローバル」剛性マトリックスにマージする必要があります。これらのマトリックスをマージするときには、変位の互換性と各ノードでの力の平衡という 2 つのルールに従う必要があります。これらのルールは、要素ノードの変位をグローバル ノードの変位に関連付けることで維持されます。

グローバル変位ベクトルと力ベクトルには、構造内の自由度ごとに 1 つのエントリが含まれます。要素剛性マトリックスは、グローバル変位ベクトルと荷重ベクトルに合わせて各マトリックスを拡張または拡大することで結合されます。

${\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ （上記構造の要素（１）について）

最後に、個々の拡張要素マトリックスを加算して、グローバル剛性マトリックスが構築されます。

グローバル剛性マトリックス、変位ベクトル、および力ベクトルが構築されると、システムは単一のマトリックス方程式として表現できます。

構造内の各自由度については、変位または力のいずれかが既知です。

各自由度の既知の値を入力すると、マスター剛性方程式が完成し、評価の準備が整います。行列方程式を評価するには、コレスキー分解や連立方程式の力ずくの評価など、さまざまな方法があります。構造が適切に拘束されていない場合、力を加えると構造が固く動くため、追加のサポート条件を追加する必要があります。

このセクションで説明する方法は、直接剛性法の概要を示すものです。プロセスの詳細や、プロセスに固有の材料特性に関する仮定については、追加の情報源を参照してください。

直接剛性法は、多数の要素を含む複雑な構造を評価するために、コンピュータ ソフトウェアに効果的かつ簡単に実装できるように特別に開発されました。現在、利用可能なほぼすべての有限要素ソルバーは、直接剛性法に基づいています。各プログラムは同じプロセスを使用していますが、多くのプログラムは、計算時間を短縮し、必要なメモリを減らすために合理化されています。これを実現するために、ショートカットが開発されました。

直接剛性法が最も広く利用されている分野の 1 つは、この方法がモデリング ソフトウェアに組み込まれている構造解析の分野です。このソフトウェアを使用すると、ユーザーは構造をモデリングでき、要素の材料特性を定義すると、プログラムによって要素と全体の剛性の関係が自動的に生成されます。さまざまな荷重条件が適用されると、ソフトウェアによって構造が評価され、ユーザーに代わってたわみが生成されます。

• 有限要素法
• 構造力学における有限要素法
• 構造解析
• 柔軟性メソッド
• 有限要素ソフトウェアパッケージのリスト

• 1次元バネシステムへの直接剛性法の適用
• マトリックス構造解析
• 剛性解析シミュレーションのアニメーション

• Felippa, Carlos A. (2001)、「マトリックス構造解析の歴史的概要: 3 幕の劇」(PDF)、Computers & Structures、79 (14): 1313–1324、doi :10.1016/S0045-7949(01)00025-6、ISSN 0045-7949、2007-06-29に オリジナル(PDF)からアーカイブ、2005-10-05に取得
• フェリッパ、カルロス A.有限要素法入門。2001 年秋。コロラド大学。2005 年 9 月 18 日
• ロビンソン、ジョン。エンジニアのための構造マトリックス解析。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、1966年
• ルビンスタイン、モシェ F. 構造のマトリックスコンピュータ解析。ニュージャージー州: プレンティスホール、1966 年
• McGuire, W.、Gallagher, RH、および Ziemian, RD Matrix Structural Analysis、第 2 版。ニューヨーク: John Wiley & Sons、2000 年。