境界要素法

境界要素法（BEM ）は、工学や数理モデリングにおいて発生する線形偏微分方程式（PDE）を解くための数値計算手法です。より広く用いられている有限要素法と同様に、解析対象を空間内の複数の点に分割し、それらの点で反復的に計算を行います。

BEMはFEM（および類似の手法）とは異なり、定義された境界（多くの場合、物体の外面または同様の境界）における値に基づいて計算することで、内部または外部の点における値を算出できます。これは、偏微分方程式を積分方程式（境界積分形式）として再定式化することによって実現されます。これにより、より大きな体積の計算が境界における解に基づく計算に縮小され、解く必要のある計算の総量が大幅に削減されます。たとえば、湖を通過する音の伝達を考慮する場合、FEMでは膨大な数の点を計算する必要がありますが、BEMではこれをエミッターの外面における条件の計算にまで縮小できます。

BEMは、応力解析、流体力学、音響学、および類似の分野で広く使用されています。また、電磁気学、特に無線アンテナの性能の研究でも非常に一般的です。この場合、非常に広く使用されているため、一般的にはモーメント法（MoM）という別の用語で呼ばれています。^{[ 1 ]}

境界要素法は、固体中の破壊力学や亀裂の解析にも適しており、亀裂問題に対するBEMアプローチはいくつか存在する。そのようなアプローチの1つは、超特異境界積分方程式の観点から亀裂の条件を定式化することであり、( Ang 2013 )および接触力学を参照。^{[ 2 ] [ 3 ]}

積分方程式は、支配偏微分方程式の厳密解とみなすことができます。境界要素法は、偏微分方程式で定義される空間全体ではなく、与えられた境界条件を用いて、積分方程式に境界値を当てはめようとします。この処理が完了すると、後処理段階で、積分方程式を再び使用して、解領域内部の任意の点における解を直接数値的に計算することができます。

BEMは、グリーン関数を計算できる問題に適用できます。これらは通常、線形均質媒体内の場を扱います。このため、境界要素法が有効に適用できる問題の範囲と一般性にはかなりの制約が生じます。非線形性は定式化に含めることができますが、一般的には体積積分が導入され、解を求める前に体積を離散化する必要が生じるため、BEMの最もよく挙げられる利点の1つが失われます。体積を離散化せずに体積積分を扱うための有用な手法は、双対相反法です。この手法では、放射基底関数（局所補間関数）を使用して被積分関数の一部を近似し、体積領域全体（境界を含む）に分布する選択された点でコロケーションした後、体積積分を境界積分に変換します。双対相反BEMでは、体積をメッシュに離散化する必要はありませんが、解領域内の選択された点の未知数が、検討中の問題を近似する線形代数方程式に含まれます。

メッシュによって定義されたソースパッチとフィールドパッチのペアを接続するグリーン関数の要素は行列を形成し、これは数値的に解かれます。グリーン関数が、少なくとも互いに近いパッチのペアに対して良好な性質を示さない限り、グリーン関数はソースパッチとフィールドパッチのいずれか、または両方で積分する必要があります。ソースパッチとフィールドパッチ上の積分が同じである方法の形式は、「ガラーキン法」と呼ばれます。ガラーキン法は、ソース点とフィールド点の交換に関して対称な問題に対する明らかなアプローチです。周波数領域の電磁気学では、これは電磁気的相反性によって保証されます。単純なガラーキン実装に伴う計算コストは​​、通常かなり高額です。各要素のペアをループする必要があり（したがって、n ^{2 回の相互作用が発生します）、各要素のペアに対して、要素内の}ガウス点をループして、ガウス点の数の 2 乗に比例する乗数係数を生成します。また、必要な関数評価は通常、三角関数や双曲線関数の呼び出しを伴うため、非常にコストがかかります。とはいえ、計算コストの主な原因は、要素を完全に埋め尽くした行列を生成するための、この二重ループ処理にあります。

グリーン関数、すなわち基本解は、特異点負荷（例えば点電荷から生じる電場）を受けたシステム方程式の解に基づいているため、積分が困難な場合が多い。このような特異場の積分は容易ではない。単純な要素形状（例えば平面三角形）の場合は解析的積分を用いることができる。より一般的な要素の場合、特異点に適応する純粋な数値スキームを設計することは可能であるが、計算コストが非常に高くなる。もちろん、ソース点とターゲット要素（積分を行う場所）が十分に離れている場合、点の周囲の局所勾配を正確に定量化する必要がなくなり、基本解の滑らかな減衰により容易に積分が可能になる。境界要素問題の計算を高速化するために設計されたスキームでは、通常この特性が利用される。

閉形式のグリーン関数の導出は、境界要素法、特に電磁気学において特に重要です。特に層状媒体の解析では、空間領域のグリーン関数の導出には、ゾンマーフェルト経路積分による解析的に導出可能なスペクトル領域のグリーン関数の逆変換が必要です。この積分は解析的に評価できず、振動的で収束が遅いため数値積分はコストがかかります。堅牢な解析のために、空間グリーン関数は、プロニー法や一般化された関数ペンシルなどの方法で複素指数関数として近似され、積分はゾンマーフェルト恒等式で評価されます。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}この方法は離散複素イメージ法として知られています。^{[ 6 ] [ 7 ]}

境界要素法は、表面積/体積比が小さい問題の場合、計算リソースの観点から、有限要素法を含む他の方法よりも効率的な場合が多い。^{[ 8 ]}概念的には、モデル化された表面上に「メッシュ」を構築することによって機能します。しかし、多くの問題では、境界要素法は、体積離散化法（有限要素法、有限差分法、有限体積法）よりも著しく効率が劣ります。境界要素法の適用例としては、タンク内の液体のスロッシングの固有振動数の効率的な計算が挙げられます。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}境界要素法は、接触問題の数値シミュレーション、特に接着接触のシミュレーションにおいて最も効果的な方法の 1 つです。 ^{[ 12 ] [ 13 ]}

境界要素法では、通常、要素が完全に格納された行列が生成されます。これは、記憶容量と計算時間が問題サイズの二乗に比例して増加する傾向があることを意味します。対照的に、有限要素法では、行列は通常、帯状（要素は局所的にのみ接続）であり、システム行列の記憶容量は問題サイズに対してほぼ線形に増加します。 多重極展開や適応型相互近似／階層行列などの圧縮手法を用いることで、これらの問題を軽減できますが、複雑さが増すという代償を伴い、成功率は解決しようとしている問題の性質や関連する形状に大きく依存します。

• 分析要素法
• 計算電磁気学
• メッシュフリー法
• 埋め込み境界法
• ストレッチグリッド法
• 修正された放射状積分法^{[ 14 ] [ 15 ]}

• Ang, Whye-Teong (2007)『境界要素法入門』、フロリダ州ボカラトン：Universal Publishers、ISBN 978-1-58112-974-8。
• Ang, Whye-Teong (2013), Hypersingular Integral Equations in Fracture Analysis , Oxford: Woodhead Publishing , ISBN 978-0-85709-479-7。
• Banerjee, Prasanta Kumar (1994), 『工学における境界要素法』（第2 版）、ロンドン他：McGraw-Hill、ISBN 978-0-07-707769-3。
• Beer, Gernot; Smith, Ian; Duenser, Christian (2008年4月8日)、『プログラミングによる境界要素法：エンジニアと科学者のために』、ベルリン – ハイデルベルク – ニューヨーク：Springer-Verlag、pp.  XIV+494、ISBN 978-3-211-71574-1
• Cheng, Alexander H.-D.; Cheng, Daisy T. (2005)、「境界要素法の起源と初期の歴史」、Engineering Analysis with Boundary Elements、29 (3): 268–302、doi : 10.1016/j.enganabound.2004.12.001、Zbl 1182.65005 こちらでも入手可能です。
• ギブソン、ウォルトン C (2008)、『電磁気学におけるモーメント法』、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール／CRCプレス 、 xv+272ページ、 ISBN 978-1-4200-6145-1MR 2503144、Zbl 1175.78002​  。
• カツィカデリス、ジョン・T. (2002)『境界要素理論と応用』アムステルダム：エルゼビア、pp.  XIV+336、ISBN 978-0-080-44107-8。
• Wrobel, LC; Aliabadi, MH (2002) 『境界要素法』ニューヨーク：John Wiley & Sons、p.  1066、ISBN 978-0-470-84139-6（全2巻）

• コンスタンダ、クリスチャン；ドティ、デール；ハミル、ウィリアム（2016）。境界積分方程式法と数値解法：弾性基礎上の薄板。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 978-3-319-26307-6。

• 境界要素に関するオンラインリソース
• 表面の下には何が隠されているのか？境界要素法とグリーン関数に関する学生と専門家向けガイド
• BEM入門コース（グリーン関数に関する章を含む）
• 平面亀裂問題に対する境界要素
• クレムソン大学の電磁気モデリングに関するウェブサイト（現在利用可能なソフトウェアの一覧を含む）
• コンセプトアナリスト境界要素解析ソフトウェア
• Klimpke, Bruce 「有限要素法と境界要素法を組み合わせた磁場ソルバーを用いたハイブリッド磁場ソルバー」、英国磁気学会会議、2003年。この論文では、FEM法とBEM法、およびハイブリッドアプローチを比較している。