打ち切り誤差（数値積分）

数値積分における打ち切り誤差には、次の2種類がある。

• ローカル切り捨て誤差– 1回の反復によって発生する誤差、
• グローバル切り捨て誤差– 多数の反復処理によって生じる累積誤差。

連続微分方程式があると仮定します

${\displaystyle y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}}$

そして近似値を計算したい$\displaystyle y_n}}$真の解決策${\displaystyle y(t_{n})}$離散的な時間ステップで$t_1,t_2,...,t_N$簡略化のため、時間ステップは等間隔であると仮定する。

${\displaystyle h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.}$

数列を計算すると仮定します${\displaystyle y_{n}}$1段階の方法を用いて

${\displaystyle y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).}$

機能${\displaystyle A}$これは増分関数と呼ばれ、傾きの推定値として解釈できます。${\displaystyle {\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}}$。

局所的な切り捨て誤差が分かっている場合、全体的な切り捨て誤差の上限値を計算できる場合がある。そのためには、増分関数が十分に良好な挙動を示す必要がある。

グローバルな打ち切り誤差は、次の漸化式を満たす。

${\displaystyle e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.}$

これは定義からすぐに導かれる。ここで、増分関数が第2引数に関してリプシッツ連続であると仮定する。つまり、定数が存在する。${\displaystyle L}$すべての${\displaystyle t}$そして${\displaystyle y_{1}}$そして${\displaystyle y_{2}}$、 我々は持っています：

${\displaystyle |A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.}$

すると、グローバル誤差は境界を満たす。

${\displaystyle |e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).}$^{[ 7 ]}

グローバル誤差の上記の境界から、関数が${\displaystyle f}$微分方程式において、 は第1引数で連続であり、第2引数でリプシッツ連続である（ピカール・リンデレーフの定理からの条件）、そして増分関数は${\displaystyle A}$がすべての引数で連続であり、2 番目の引数でリプシッツ連続である場合、ステップサイズが大きくなるにつれて、グローバル誤差はゼロに近づきます。${\displaystyle h}$ゼロに近づく（つまり、数値解法は正確な解に収束する）。^{[ 8 ]}

次に、次の式で表される線形多段階法を考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}}$

したがって、数値解の次の値は次のように計算されます。

${\displaystyle y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}$

線形多段階法の次の反復は、前のs回の反復に依存します。したがって、局所打ち切り誤差の定義では、前のs回の反復はすべて厳密解に対応すると仮定します。

${\displaystyle \tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).}$^{[ 9 ]}

繰り返しますが、この方法は一貫しています。${\displaystyle \tau _{n}=o(h)}$そして、もしそれがpの位数を持つならば${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$グローバル打ち切り誤差の定義も変更されていません。

局所的打ち切り誤差と全体的打ち切り誤差の関係は、より単純な一段階法の場合とは若干異なります。線形多段階法では、局所的打ち切り誤差と全体的打ち切り誤差の関係を説明するために、ゼロ安定性と呼ばれる追加の概念が必要です。ゼロ安定性の条件を満たす線形多段階法は、局所的誤差と全体的誤差の関係が一段階法と同じです。言い換えれば、線形多段階法がゼロ安定かつ一貫性があれば、収束します。また、線形多段階法がゼロ安定かつ局所的誤差がゼロであれば、収束します。${\displaystyle \tau _{n}=O(h^{p+1})}$すると、そのグローバル誤差は以下を満たす。${\displaystyle e_{n}=O(h^{p})}$[ ^{10 ]​}

• 正確性の順序
• 数値積分
• 数値常微分方程式
• 切り捨てエラー

• Iserles, Arieh (1996), 『微分方程式の数値解析入門』、ケンブリッジ大学出版局、Bibcode : 1996fcna.book.....I、ISBN 978-0-521-55655-2。
• Süli, Endre; Mayers, David (2003),数値解析入門, Cambridge University Press , ISBN 0521007941。

• 打ち切り誤差とルンゲ・クッタ法に関する注記
• オイラー法の打ち切り誤差