精度の順序

数値解析では、精度のオーダーは、微分方程式の数値近似が厳密解に収束する速度を定量化します。適切なノルム空間における微分方程式の厳密解 を考えます。数値近似 を考えます。ここで は、有限差分スキームのステップサイズや有限要素法のセルの直径など、近似を特徴付けるパラメータです。誤差がステップサイズの 乗に比例する場合、数値解はオーダー正確であると言えます。^[1]${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (V,||\ ||)}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle E(h):=||u-u_{h}||}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle E(h)=||u-u_{h}||\leq Ch^{n}}$

ここで定数はとは独立であり、通常は解に依存する。^[2]ビッグO記法を用いると、次精度の数値計算法は次のように表記される。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle h}$${\displaystyle u}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle ||u-u_{h}||=O(h^{n})}$

この定義は、空間で使用されるノルムに厳密に依存します。このようなノルムの選択は、収束率、および一般にすべての数値誤差を正しく推定するために不可欠です。

一次精度近似の誤差の大きさは に正比例する。 時間と空間の両方で変化する偏微分方程式は、時間に関して の順序と空間に関して の順序で正確であると言われる。^[3]${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$