金融におけるモンテカルロ法

数理ファイナンスにおける多くの問題は、特定の積分の計算を伴います（例えば、特定のデリバティブの無裁定価格を求める問題など）。多くの場合、これらの積分は解析的に求めることができ、さらに多くの場合は数値積分、あるいは偏微分方程式（PDE）を用いて計算することができます。しかし、問題の次元数（または自由度）が大きい場合、PDEや数値積分は扱いにくくなり、このような場合にはモンテカルロ法の方がより良い結果が得られることがよくあります。

状態変数が3つまたは4つを超える場合、ブラック・ショールズ式（すなわち解析解）のような公式は存在せず、二項オプション価格モデル や有限差分法などの他の数値解法 もいくつかの困難に直面し、実用的ではありません。このような場合、モンテカルロ法は数値解法よりも解への収束が速く、必要なメモリも少なく、プログラミングも容易です。しかし、より単純な状況では、シミュレーションは非常に時間がかかり、計算負荷も高いため、最適な解決策とは言えません。

モンテカルロ法は、経路依存的な利得を持つ導関数を比較的容易に扱うことができる。一方、有限差分法（偏微分方程式）ソルバーは、経路依存性への対応に苦慮する。

モンテカルロ法はアメリカンオプションには適用しにくい。これは、偏微分方程式とは異なり、モンテカルロ法は与えられた開始点と時間を前提としてオプション価格を推定するに過ぎないためである。

しかし、早期行使の場合、シミュレーション開始時刻からオプション満了時刻までの中間時点におけるオプション価格も知る必要があります。ブラック・ショールズ偏微分方程式アプローチでは、シミュレーションは満了日から逆方向に実行されるため、これらの価格は容易に得られます。モンテカルロ法ではこの情報を得ることは困難ですが、例えば、数年後にロングスタッフとシュワルツによって普及したカリエールの最小二乗法アルゴリズム（原著論文へのリンクを参照）を使用することで可能です（原著論文へのリンクを参照）。

無裁定価格の基本定理は、デリバティブの値は、リスク中立測度の下で期待されるデリバティブのペイオフの割引期待値に等しいと述べている^{[1] 。}純粋数学の言葉で言えば、期待値は測度に関する積分にすぎない。モンテカルロ法は、難しい積分を評価するのに理想的である（モンテカルロ法も参照）。

したがって、リスク中立確率空間が${\displaystyle \mathbb {P} }$そして、基礎となる金融商品群に依存する導関数Hが存在する。${\displaystyle S_{1},...,S_{n}}$サンプルが与えられた場合${\displaystyle \omega }$確率空間から導関数の値は${\displaystyle H(S_{1}(\omega ),S_{2}(\omega ),\dots ,S_{n}(\omega ))=:H(\omega )}$デリバティブの今日の価値は、考えられるすべてのサンプルについて期待値を取り、リスクフリーレートで割り引くことによって求められます。つまり、デリバティブの価値は次のようになります。

${\displaystyle H_{0}={DF}_{T}\int _{\omega }H(\omega )\,d\mathbb {P} (\omega )}$

どこ${\displaystyle {DF}_{T}}$は、 T年後の最終満期日までのリスクフリーレートに対応する割引率です。

ここで、積分を計算するのが難しいと仮定します。サンプルパスを生成し、平均を取ることで積分を近似できます。N個のサンプルを生成すると仮定します。

${\displaystyle H_{0}\approx {DF}_{T}{\frac {1}{N}}\sum _{\omega \in {\text{サンプルセット}}}H(\omega )}$

計算ははるかに簡単だ。

金融分野では、基礎となる確率変数（例えば、株価）は通常、ブラウン運動の関数である経路をたどると仮定される^²。例えば、標準的なブラック・ショールズモデルでは、株価は次のように変化する。

${\displaystyle dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW_{t}.}$

この分布に従って時間 0 から T までの経路をサンプリングするために、時間間隔を長さ M の単位に分割します。${\displaystyle \delta t}$区間におけるブラウン運動を近似する${\displaystyle dt}$平均0、分散の単一の正規変数によって${\displaystyle \delta t}$これにより、サンプルパスは次のようになります。

${\displaystyle S(k\delta t)=S(0)\exp \left(\sum _{i=1}^{k}\left[\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)\delta t+\sigma \varepsilon _{i}{\sqrt {\delta t}}\right]\right)}$

1からMまでの各kについて。ここで各${\displaystyle \varepsilon _{i}}$これは標準正規分布からの抽出値です。

導関数 H が0 からTまでのSの平均値を支払うと仮定すると、サンプルパス${\displaystyle \omega }$セットに対応する${\displaystyle \{\varepsilon _{1},\dots ,\varepsilon _{M}\}}$そして

${\displaystyle H(\omega )={\frac {1}{M}}\sum _{k=1}^{M}S(k\delta t).}$

この導関数のモンテカルロ値は、M個の正規変数をNロット生成し、 N個のサンプルパスを作成してHの値をN個生成し、それらの平均値を取ることによって得られます。通常、導関数は2つ以上の（相関関係にある可能性のある）基礎変数に依存します。ここで紹介する方法は、複数の変数のサンプルパスを生成するように拡張できます。この場合、サンプルパスを構成する正規変数は適切に相関関係にあります。

中心極限定理から、サンプルパスの数を4倍にすると、シミュレーション価格の誤差がほぼ半分になることがわかる（つまり、誤差はオーダーになる）。${\displaystyle \epsilon ={\mathcal {O}}\left(N^{-1/2}\right)}$（解の標準偏差の意味での収束）。

実際には、モンテカルロ法は少なくとも3つの変数を含むヨーロピアンスタイルのデリバティブに使用されます（原資産が1つまたは2つの問題には、通常、数値積分を含むより直接的な方法を使用できます。モンテカルロオプションモデルを参照してください ）。

オプションの「グリークス」、すなわち入力パラメータに対するオプション価格の（数学的）微分値は、数値微分によって求めることができます。しかし、これは時間のかかる処理となる可能性があります（入力パラメータのわずかな変化ごとにモンテカルロシミュレーションを最初から最後まで実行する必要があるため）。さらに、数値微分を行うとモンテカルロ値の誤差（またはノイズ）が強調される傾向があるため、多数のサンプルパスを用いてシミュレーションを行う必要が生じます。実務家は、これらの点をモンテカルロ法を用いる際の重要な問題点と捉えています。

平方根の収束は遅いため、上記のような単純な手法を用いる場合、正確な結果を得るには非常に多くのサンプルパス（例えば、一般的な問題では100万個）が必要となります。デリバティブ価格の推定値は確率変数であることを忘れてはなりません。リスク管理活動においては、デリバティブポートフォリオの価格やリスクに関する不確実性が、最適とは言えないリスク管理判断につながる可能性があります。

この状況は、差異低減手法を用いることで緩和できる。

サンプルパスをランダムに生成する代わりに、確率空間内の点を体系的に（そして実際には、名前にある「準ランダム」とは裏腹に完全に決定論的に）選択して、空間を最適に「埋める」ことが可能です。点の選択は、ソボル数列のような低不一致数列で行われます。低不一致数列内の点における導関数の利得の平均を取ることは、ランダムな点における利得の平均を取るよりも効率的な場合が多いです。

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