中点法

応用数学の一分野である数値解析において、中点法は微分方程式を数値的に解くための1ステップの方法である。

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

明示的中点法は次式で与えられる。

暗黙の中点法

に対してここで、はステップサイズ（小さな正の数値）であり、は の計算された近似値です。陽的中点法は修正オイラー法と呼ばれることもあります。^[1]陰的法は最も単純な選点法であり、ハミルトン力学に適用するとシンプレクティック積分器になります。修正オイラー法はホイン法を参照する場合があることに注意してください。[ ^2]詳細については、ルンゲ・クッタ法の一覧を参照してください。 ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$${\displaystyle h}$${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t_{n}).}$

この方法の名前は、上記の式で、解の傾きを与える関数が、の値が既知である点と の値を見つける必要がある 点の中間点で評価されるという事実に由来しています。${\displaystyle f}$${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t_{n+1}}$${\displaystyle y(t)}$

幾何学的な解釈をすると、この方法をより直感的に理解できるかもしれません (右の図を参照)。基本的なオイラー法では、 における曲線の接線はを使用して計算されます。次の値は、接線が垂直線 と交差する場所にあります。しかし、2 次導関数が と の間でのみ正、または (図のように) のみ負である場合、曲線は接線からますます離れ、 が増加するにつれて誤差が大きくなります。図は、中間点 (上部の緑の線分) での接線が、その区間における曲線のより正確な近似値を与える可能性が高いことを示しています。しかし、この中間点の接線は、曲線 (計算対象) がわからないため、正確に計算できません。代わりに、この接線は、中間点での の値を推定する元のオイラー法 を使用して推定され、次に で接線の傾きが計算されます。最後に、改善された接線を使用してからの値が計算されます。この最後のステップは、図では赤い弦で表されています。中間点の の値を推定する際の誤差により、赤い弦は緑の線分 (真の接線) と正確に平行ではないことに注意してください。 ${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle t=t_{n+1}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n+1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle f()}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle y(t)}$

中点法の各ステップにおける局所誤差は オーダーであり、大域誤差は オーダーになります。したがって、オイラー法よりも計算負荷は高くなりますが、中点法の誤差は一般に のにつれてより速く減少します。 ${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$${\displaystyle h\to 0}$

これらの方法は、ルンゲ・クッタ法として知られる高階法のクラスの例です。

中点法はオイラー法の改良版である。

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

も同様の方法で導出されます。オイラー法を導出する鍵は、近似等式です。

これは傾きの式から得られる

そしてそれを念頭に置いて${\displaystyle y'=f(t,y).}$

中点法では、（3）をより正確な

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

（２）の代わりに

では分からないので、この方程式を使って を求めることはできません。その場合の解決法は、を解くのにオイラー法を使うのと全く同じようにテイラー級数展開を使うことです。 ${\displaystyle y(t+h)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle t+h/2}$${\displaystyle y(t+h/2)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

これを（4）に代入すると、

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

明示的中点法（1e）

暗黙法（1i）は、半ステップの値をからまでの線分の中点で近似することによって得られる。${\displaystyle t+h/2}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y(t+h)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

そしてこうして

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

暗黙的ルンゲ・クッタ法における結果 の近似値を挿入する${\displaystyle y_{n}+h\,k}$${\displaystyle y(t_{n}+h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

最初の部分に ステップ サイズを含む暗黙のオイラー法が含まれています。${\displaystyle h/2}$

暗黙的メソッドの時間対称性により、局所誤差の の偶数次の項はすべて打ち消されるため、局所誤差は自動的に の順序になります。 の決定において暗黙的オイラー法を明示的オイラー法に置き換えると、再び明示的中点法になります。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$${\displaystyle k}$

• 長方形法
• ヒューン法
• Leapfrog 統合とVerlet 統合

• グリフィス、DV; スミス、IM (1991)。エンジニアのための数値解析法: プログラミングアプローチ。ボカラトン: CRC プレス。p. 218。ISBN 0-8493-8610-1。
• スーリ、エンドレ、メイヤーズ、デイヴィッド（2003）、数値解析入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-00794-1。
• バーデン、リチャード; フェアーズ、ジョン (2010)。数値解析。リチャード・ストラットン。p. 286。ISBN 978-0-538-73351-9。