ファヴァールの定理

数学において、ファヴァールの定理（ショハト・ファヴァールの定理とも呼ばれる）は、適切な3項再帰関係を満たす多項式の列は直交多項式 の列であることを述べている。この定理は、ファヴァール（1935年）とショハト（1938年）によって直交多項式の理論で導入されたが、本質的に同じ定理はファヴァールの論文より何年も前にスティルチェスによって連分数の理論で  使用され 、ファヴァールの研究以前にも他の著者によって何度か再発見されていた。

y ₀  = 1, y ₁ , ...がy _nがn次である多項式の列であるとする 。これが何らかの正の重み関数に対する直交多項式の列である場合、3項再帰関係を満たす。ファヴァールの定理はこれの逆であり、これらの多項式が次の形式の3項再帰関係を満たす場合を述べている。

${\displaystyle y_{n+1}=(x-c_{n})y_{n}-d_{n}y_{n-1}}$

ある数c _nとd _nに対して、多項式y _{n は}、 Λ(1)=1 を満たすある線形関数 Λ に対して直交列を形成します。つまり、m  ≠  nの場合、 Λ( y _m y _n ) = 0 です。

線形関数 Λ は一意であり、n > 0 の場合は Λ(1) = 1、Λ( y _n ) = 0で与えられます 。

関数ΛはΛ( y²
_位) = d _n Λ( y²
_{n –1}) であり、これは、数c _{n が}実数であり、数d _nが正数である場合に限り、Λ が正定値であることを意味します。

• ヤコビ演算子
• ジェームズ・アレクサンダー・ショハット
• ジャン・ファヴァール

• 千原、セオドア・セイオ（1978）、直交多項式入門、数学とその応用、第13巻、ニューヨーク：ゴードン・アンド・ブリーチ・サイエンス・パブリッシャーズ、ISBN 978-0-677-04150-6、MR  0481884ドーバー社2011年再版、ISBN 978-0-486-47929-3 
• Favard, J. (1935)、「Sur les Polynomes de Tchebicheff」、CR Acad.科学。パリ(フランス語)、200 : 2052–2053、JFM  61.0288.01
• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002)、多項式の解析理論、ロンドン数学会モノグラフ。新シリーズ、第26巻、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、pp. 15–16、ISBN 0-19-853493-0、Zbl  1072.30006
• サブボティン、Yu. N. (2001) [1994]、「ファヴァールの定理」、数学百科事典、EMS プレス
• Shohat, J. (1938)、「Sur les Polynômes orthogonaux généralises.」、CR Acad.科学。パリ(フランス語)、207 : 556–558、Zbl  0019.40503