最適な停止

停止規則の問題は、次の2つの対象物に関連しています。

1. ランダム変数のシーケンス${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$その同時分布は既知であると仮定される
2. 一連の「報酬」関数${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1}}$これは、1における確率変数の観測値に依存します。

   ${\displaystyle y_{i}=y_{i}(x_{1},\ldots ,x_{i})}$

これらのオブジェクトを前提とした場合、問題は次のとおりです。

• あなたはランダム変数のシーケンスを観察しており、各ステップで${\displaystyle i}$観察を停止するか継続するかを選択できます
• ステップで観察を停止した場合${\displaystyle i}$報酬を受け取ることができます$\displaystyle y_{i}}$
• 期待報酬を最大化する（あるいは同等に、期待損失を最小化する）停止ルールを選択したい。

ゲインプロセスについて考えてみましょう${\displaystyle G=(G_{t})_{t\geq 0}}$フィルタリングされた確率空間上で定義される${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$そして、${\displaystyle G}$ろ過に適応している。最適な停止問題は停止時間を求めることである。$\displaystyle \tau ^{*}}$期待利得を最大化する

${\displaystyle V_{t}^{T}=\mathbb {E} G_{\tau ^{*}}=\sup _{t\leq \tau \leq T}\mathbb {E} G_{\tau }}$

どこ${\displaystyle V_{t}^{T}}$これは値関数と呼ばれます。${\displaystyle T}$価値を取ることができる${\displaystyle \infty }$。

より具体的な定式化は以下のとおりです。適応型強マルコフ過程を考えます。${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$フィルタリングされた確率空間上で定義される${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} _{x})}$どこ$\displaystyle \mathbb {P} _{x}}$確率過程が始まる確率測度を表す。${\displaystyle x}$連続関数が与えられた場合${\displaystyle M,L}$、 そして${\displaystyle K}$最適な停止問題は

${\displaystyle V(x)=\sup _{0\leq \tau \leq T}\mathbb {E} _{x}\left(M(X_{\tau })+\int _{0}^{\tau }L(X_{t})dt+\sup _{0\leq t\leq \tau }K(X_{t})\right).}$

これはMLS（それぞれMayer、Lagrange、supremumの略）定式化と呼ばれることもある。^{[ 4 ]}

（例：${\displaystyle \mathbb {E} (y_{i})}$収束する）

あなたは公平なコインを持っていて、それを繰り返し投げます。毎回、投げる前に、投げるのをやめて、表が出た平均回数に応じた金額（例えばドル）を受け取ることができます。

停止ルールを選択することで、受け取る金額を最大化したいとします。X i ( i ≥ 1)_がベルヌーイ分布に従う独立同分布の確率変数の列を形成する場合

${\displaystyle {\text{ベルン}}\left({\frac {1}{2}}\right),}$

そしてもし

$\displaystyle y_{i}={\frac {1}{i}}\sum _{k=1}^{i}X_{k}}$

次にシーケンス${\displaystyle (X_{i})_{i\geq 1}}$、 そして${\displaystyle (y_{i})_{i\geq 1}}$これらは、この問題に関連するオブジェクトです。

（例：${\displaystyle \mathbb {E} (y_{i})}$必ずしも収束するとは限らない）

あなたは家を所有していて、それを売りたいと思っています。毎日、あなたはオファーを受けます。${\displaystyle X_{n}}$あなたの家のために、そして支払う${\displaystyle k}$広告を続ける。${\displaystyle n}$そうすれば、あなたは稼ぐことができます$\displaystyle y_n}}$、 どこ${\displaystyle y_{n}=(X_{n}-nk)}$。

停止ルールを選択することで、収益を最大化したいと考えているのですね。

この例では、シーケンス (${\displaystyle X_{i}}$）はあなたの家に対するオファーのシーケンスであり、報酬関数のシーケンスはあなたが稼ぐ金額です。^{[ 6 ]}

（例：${\displaystyle (X_{i})}$（有限数列）

あなたは、最良から最悪まで順位付けできる一連の物体を観察しています。あなたは、最良の物体を選択する確率を最大化する停止ルールを選択したいと考えています。

ここで、もし${\displaystyle R_{1},\ldots ,R_{n}}$( nは大きな数)はオブジェクトのランクであり、$\displaystyle y_{i}}$ステップ i で意図的にオブジェクトを拒否するのをやめた場合、最良のオブジェクトを選択する確率は次のようになります。${\displaystyle (R_{i})}$そして${\displaystyle (y_{i})}$これらは、この問題に関連する数列です。この問題は1960年代初頭に複数の研究者によって解決されました。秘書問題とそのいくつかの修正問題に対する洗練された解決策は、より新しい最適停止オッズアルゴリズム（Brussアルゴリズム）によって提供されています。

経済学者は、「秘書問題」に類似した最適な停止問題を数多く研究しており、この種の分析を一般的に「探索理論」と呼んでいる。探索理論は特に、労働者が高賃金の仕事を探す場合や、消費者が低価格の商品を探す場合に焦点を当ててきた。

探索理論の応用例として、オペラ（劇場、ショッピングなど）に行くドライバーが最適な駐車スペースを選択するタスクが挙げられます。目的地に近づくと、ドライバーは駐車スペースのある通りを進みます。通常、駐車場にはいくつかの空きスペースしかありません。目的地ははっきりと見えるため、目的地までの距離は容易に把握できます。ドライバーのタスクは、Uターンせずに目的地にできるだけ近い空き駐車スペースを選択し、そこから目的地までの距離が最短になるようにすることです。^{[ 7 ]}

金融市場におけるオプション取引では、アメリカンオプションの保有者は、満期日以前または満期日に、あらかじめ定められた価格で原資産を購入（または売却）する権利を行使することができます。したがって、アメリカンオプションの評価は本質的に最適停止問題です。古典的なブラック・ショールズモデルを考え、${\displaystyle r}$リスクフリー金利とし、${\displaystyle \delta }$そして${\displaystyle \sigma }$配当率と株価の変動率。${\displaystyle S}$幾何ブラウン運動に従う

$${\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left\{\left(r-\delta -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma B_{t}\right\}}$$

リスク中立的な尺度の下で。

オプションが永久オプションの場合、最適な停止問題は

${\displaystyle V(x)=\sup _{\tau }\mathbb {E} _{x}\left[e^{-r\tau }g(S_{\tau })\right]}$

ここで、利得関数は${\displaystyle g(x)=(xK)^{+}}$コールオプションの場合、${\displaystyle g(x)=(K-x)^{+}}$プットオプションの場合。変分不等式は

${\displaystyle \max \left\{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}V''(x)+(r-\delta )xV'(x)-rV(x),g(x)-V(x)\right\}=0}$

すべての人々のために${\displaystyle x\in (0,\infty )\setminus \{b\}}$ どこ${\displaystyle b}$は演習の境界です。解は^{[ 8 ]であることがわかっています。}

• （永遠の呼びかけ）${\displaystyle V(x)={\begin{cases}(b-K)(x/b)^{\gamma }&x\in (0,b)\\x-K&x\in [b,\infty )\end{cases}}}$どこ${\displaystyle \gamma =({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}-\nu )/\sigma }$そして${\displaystyle \nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad b=\gamma K/(\gamma -1).}$
• （永久プット）${\displaystyle V(x)={\begin{cases}K-x&x\in (0,c]\\(K-c)(x/c)^{\tilde {\gamma }}&x\in (c,\infty )\end{cases}}}$どこ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}=-({\sqrt {\nu ^{2}+2r}}+\nu )/\sigma }$そして${\displaystyle \nu =(r-\delta )/\sigma -\sigma /2,\quad c={\tilde {\gamma }}K/({\tilde {\gamma }}-1).}$

一方、満期日が有限である場合、この問題は既知の閉形式解を持たない2次元自由境界問題となります。ただし、様々な数値計算手法を用いることができます。様々な評価手法については、ブラック・ショールズ・モデル#アメリカン・オプションの項を参照してください。また、最適な権利行使時期を離散的にツリーベースで計算するFugitも参照してください。