勾配離散化法

数値数学において、勾配離散化法( GDM ) は、線形または非線形、定常状態または時間依存など、さまざまな種類の拡散問題に対する古典的および最新の数値スキームを含むフレームワークです。スキームは適合または非適合であり、非常に一般的な多角形または多面体メッシュに依存します (メッシュレスの場合もあります)。

GDM の収束を証明するには、いくつかのコア プロパティが必要です。これらのコア プロパティにより、楕円および放物線型の問題、線形または非線形の問題に対する GDM の収束の完全な証明が可能になります。定常または過渡的な線形問題の場合、誤差推定は GDM に固有の 3 つの指標に基づいて確立できます^[1] (量、および、下記を参照)。非線形問題の場合、証明はコンパクトネス手法に基づいており、ソリューションまたはモデル データに対する非物理的な強い正則性の仮定は必要ありません。^[2]このような GDM の収束証明が行われた非線形モデルには、溶融物質をモデル化するStefan 問題、多孔質媒体内の 2 相流、地下水の流れのRichards 方程式、完全に非線形の Leray-Lions 方程式があります。^[3]${\displaystyle C_{D}}$${\displaystyle S_{D}}$${\displaystyle W_{D}}$

GDMフレームワークに入るスキームは、これらすべての問題に収束することが知られています。これは特に、適合有限要素、混合有限要素、非適合有限要素、および最近のスキームの場合は、不連続ガラーキン法、ハイブリッド混合模倣法、ノード模倣有限差分法、一部の離散双対有限体積スキーム、および一部のマルチポイントフラックス近似スキームに当てはまります。

同次ディリクレ境界条件を持つ有界開領域におけるポアソン方程式を考える${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

ここで、このモデルの 弱解^[4]の通常の意味は次のようになる。${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

簡単に言えば、このようなモデルのGDMは、有限次元空間と2つの再構成演算子（1つは関数用、もう1つは勾配用）を選択し、これらの離散要素を（2）の連続要素の代わりに置き換えることから成ります。より正確には、GDMは勾配離散化（GD）を定義することから始まります。これは、次の3つ組です。 ${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$

• 離散未知数の集合は有限次元実ベクトル空間であり、${\displaystyle X_{D,0}}$
• 関数再構成は、の要素から上の関数を再構成する線形写像である。${\displaystyle \Pi _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle \Omega }$
• 勾配再構成は、の要素から上の「勾配」（ベクトル値関数）を再構成する線形マッピングです。 この勾配再構成は、が 上のノルムとなるように選択する必要があります。${\displaystyle \nabla _{D}~:~X_{D,0}\to L^{2}(\Omega )^{d}}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Vert \nabla _{D}\cdot \Vert _{L^{2}(\Omega )^{d}}}$${\displaystyle X_{D,0}}$

（２）の近似値に対する勾配法は次のよう に表される。${\displaystyle u\in X_{D,0}}$

この場合、GDMは(2)の近似に対する非適合法であり、非適合有限要素法を含む。GDMフレームワークには関数から関数を計算できないような方法が含まれているという意味で、逆数は真ではないことに注意する。 ${\displaystyle \nabla _{D}u}$${\displaystyle \Pi _{D}u}$

^{G.ストラングの第二補題[5]}にヒントを得た 次の誤差推定は、

そして

定義:

保磁力（離散ポアンカレ定数）を測定する。

補間誤差を測定する。

適合性の欠陥を測定します。

近似誤差の上限と下限は次のように導出できることに注意してください。

次に、この方法の収束に必要かつ十分なコア特性は、GD ファミリーの場合、保磁力、GD 一貫性、および限界適合特性であり、次のセクションで定義されます。より一般的には、これらの 3 つのコア特性は、線形問題および-ラプラス問題などの一部の非線形問題に対する GDM の収束を証明するのに十分です。非線形拡散、退化した放物線問題などの非線形問題の場合、次のセクションで、必要になる可能性がある他の 2 つのコア特性を追加します。 ${\displaystyle p}$

を上記のように定義される GD のファミリとします(一般に、サイズが 0 に近づく規則的なメッシュのシーケンスに関連付けられます)。 ${\displaystyle (D_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

（ 6） で定義されるシーケンスは有界のままである。${\displaystyle (C_{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$

すべての に対して、（（7）で定義される）。 ${\displaystyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }S_{D_{m}}(\varphi )=0}$

すべての に対して、 （（ 8 ）で定義される）。この性質は保磁力の性質を意味する。 ${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle \lim _{m\to \infty }W_{D_{m}}(\varphi )=0}$

すべての に対しておよび が 有界となるようなすべてのシーケンスに対して、シーケンスはにおいて相対的にコンパクトです(この特性は保磁力特性を意味します)。 ${\displaystyle (u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle u_{m}\in X_{D_{m},0}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (\Vert u_{m}\Vert _{D_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle (\Pi _{D_{m}}u_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$

を上で定義した勾配離散化とし ます。演算子 は、の基底との互いに素な部分集合の族が 存在し、すべての に対してとなる 場合、区分的に定数な再構成です。ここでは の特性関数です。 ${\displaystyle D=(X_{D,0},\Pi _{D},\nabla _{D})}$${\displaystyle \Pi _{D}}$${\displaystyle (e_{i})_{i\in B}}$${\displaystyle X_{D,0}}$${\displaystyle (\Omega _{i})_{i\in B}}$${\displaystyle \Omega }$${\textstyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in B}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$${\textstyle u=\sum _{i\in B}u_{i}e_{i}\in X_{D,0}}$${\displaystyle \chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$

上記のコアプロパティが満たされている場合に GDM が収束することが証明できるいくつかの問題を検討します。

${\displaystyle -\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

この場合、GDM は保磁力、GD 一貫性、限界適合性、コンパクト性の特性に基づいて収束します。

${\displaystyle -\operatorname {div} \left(|\nabla {\overline {u}}|^{p-2}\nabla {\overline {u}}\right)=f}$

この場合、コア特性は、を、を 、を に置き換えて記述する必要があり、GDM は保磁力、GD 一貫性、および限界適合特性の下でのみ収束します。 ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle W_{\operatorname {div} }^{p'}(\Omega )}$${\textstyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1}$

${\displaystyle \partial _{t}{\overline {u}}-\operatorname {div} (\Lambda ({\overline {u}})\nabla {\overline {u}})=f}$

この場合、GDM は保磁力、GD 一貫性 (空間時間問題に適応)、限界適合性、コンパクト性 (非線形の場合) の特性に基づいて収束します。

およびが非減少リプシッツ連続関数であると 仮定します。${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \partial _{t}\beta ({\overline {u}})-\Delta \zeta ({\overline {u}})=f}$

この問題では、保磁力、GD 一貫性 (空間時間問題に適応)、極限適合性、コンパクト性の特性に加えて、区分的に一定の再構成特性が必要であることに注意してください。

以下の方法はすべて、GDM の最初の 4 つのコア プロパティ (保磁力、GD 一貫性、限界適合性、コンパクト性) を満たし、場合によっては 5 番目のプロパティ (区分的に一定の再構成) も満たします。

を有限基底で張るとする。ガラーキン法はGDMと同一であり、定義される。 ${\displaystyle V_{h}\subset H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle V_{h}}$

• ${\displaystyle X_{D,0}=\{u=(u_{i})_{i\in I}\}=\mathbb {R} ^{I},}$
• ${\displaystyle \Pi _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\psi _{i}}$
• ${\displaystyle \nabla _{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\nabla \psi _{i}.}$

この場合、は連続ポアンカレ不等式に含まれる定数であり、すべての に対して、 （( 8 )で定義される）である。すると、( 4 )と( 5 )はセアの補題から導かれる。 ${\displaystyle C_{D}}$${\displaystyle \varphi \in H_{\operatorname {div} }(\Omega )}$${\displaystyle W_{D}(\varphi )=0}$

「質量集中」有限要素の場合は、を に 置き換えて GDM のフレームワークに入ります。ここで、 は、でインデックス付けされた頂点を中心とするデュアルセルです 。質量集中を使用すると、区分的に一定の再構成プロパティを取得できます。 ${\displaystyle P^{1}}$${\displaystyle \Pi _{D}u}$${\textstyle {\widetilde {\Pi }}_{D}u=\sum _{i\in I}u_{i}\chi _{\Omega _{i}}}$${\displaystyle \Omega _{i}}$${\displaystyle i\in I}$

の単体の適合集合であるメッシュ上で、非適合有限要素は、任意の においてアフィンであり 、メッシュの特定の面の重心における値が 1 で、他のすべての面において 0 である関数の基底によって 定義されます (これらの有限要素は、[Crouzeix et al ] ^{[6]でストークス方程式と}ナビエ-ストークス方程式の近似に使用されています)。次に、この方法は、の「破断勾配」として理解されなければならないという事実を除いて、ガラーキン法の場合と同じ定義で GDM フレームワークに 入ります。つまり、各単体におけるアフィン関数の勾配に等しい区分定数関数であるということです。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle P^{1}}$${\displaystyle (\psi _{i})_{i\in I}}$${\displaystyle K\in T}$${\displaystyle \nabla \psi _{i}}$${\displaystyle \psi _{i}}$

混合有限要素法は、の近似値と の近似値の 2 つの離散空間を定義することから成ります。[ ^7] GDM を定義するには、これらの近似値間の離散関係を使用するだけで十分です。低次のRaviart–Thomas 基底関数を使用すると、区分的に一定の再構成特性を得ることができます。 ${\displaystyle \nabla {\overline {u}}}$${\displaystyle {\overline {u}}}$

不連続ガラーキン法は、ある要素から他の要素へのジャンプを必要とせずに、問題を区分多項式関数で近似するものです。^[8]これは、離散勾配にジャンプ項を含めることでGDMフレームワークに組み込まれ、分布の意味で勾配の正規化として機能します。

この手法群は[Brezzi et al ] ^[9]によって導入され、[Lipnikov et al ] ^[10]で完成しました。この手法は、楕円問題を多面体メッシュの大規模なクラスを使用して近似することを可能にします。この手法がGDMフレームワークに入るという証明は、[Droniou et al ] ^{[2]で行われています。}

• 有限要素法

• 勾配離散化法 (Jérôme Droniou、Robert Eymard、Thierry Gallouët、Cindy Guichard、Raphaèle Herbin著)