スペクトル法

スペクトル法は、応用数学や科学計算で特定の微分方程式を数値的に解くために使用される手法の一種です。その考え方は、微分方程式の解を特定の「基底関数」の和として（たとえば、正弦波の和であるフーリエ級数として）記述し、次に、微分方程式を可能な限り満たすように和の係数を選択するというものです。

スペクトル法と有限要素法は密接に関連しており、同じアイデアに基づいています。両者の主な違いは、スペクトル法では一般にドメイン全体でゼロでない基底関数を使用するのに対し、有限要素法では小さなサブドメイン（コンパクトサポート）でのみゼロでない基底関数を使用することです。したがって、スペクトル法は変数をグローバルに接続しますが、有限要素法はローカルに接続します。この理由もあって、スペクトル法は優れた誤差特性を持ち、解が滑らかな場合は、いわゆる「指数収束」が最も速くなります。ただし、3次元の単一ドメインのスペクトル衝撃を捉えた結果は知られていません（衝撃波は滑らかではありません）。^[1]有限要素コミュニティでは、要素の次数が非常に高いか、グリッドパラメータhが増加するにつれて増加する方法をスペクトル要素法と呼ぶことがあります。

スペクトル法は、微分方程式（PDE、ODE、固有値など）や最適化問題を解くのに使用できます。スペクトル法を時間依存のPDEに適用する場合、解は通常、時間依存の係数を持つ基底関数の和として表されます。これをPDEに代入すると、係数に常微分方程式のシステムが生成され、これは常微分方程式の任意の数値法を使用して解くことができます。常微分方程式の固有値問題も同様に行列固有値問題に変換されます^[要出典]。

スペクトル法は、1969 年にSteven Orszagによって一連の論文で開発され、周期幾何学問題に対するフーリエ級数法、有限および無限幾何学問題に対する多項式スペクトル法、高度に非線形な問題に対する擬スペクトル法、定常問題の高速解法に対するスペクトル反復法などが含まれますが、これらに限定されません。スペクトル法の実装は、通常、コロケーション、ガラーキン法、またはタウ法のいずれかを使用して行われます。非常に小さな問題の場合、スペクトル法は、解を記号的に書き出すことができる点で独特であり、微分方程式の級数解の実用的な代替手段となります。

スペクトル法は、有限要素法よりも計算コストが低く、実装も簡単です。スペクトル法は、滑らかな解を持つ単純な領域で高精度が求められる場合に最も効果を発揮します。ただし、そのグローバルな性質のため、ステップ計算に関連する行列は密であり、自由度が多い場合は計算効率がすぐに低下します (行列アプリケーションをフーリエ変換として記述できる場合など、いくつかの例外があります)。より大きな問題や滑らかでない解の場合、疎行列と不連続性や急カーブのより優れたモデリングにより、有限要素法の方が一般的にうまく機能します。

ここでは、基本的な多変数微積分とフーリエ級数の理解を前提としています。 が2つの実変数の既知の複素数値関数であり、gがxとyに関して周期的である場合（つまり、）、関数f ( x , y )を求めることに関心があります。 ${\displaystyle g(x,y)}$${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{すべての }}x,y について}$

ここで、左辺の式はそれぞれxとyにおけるfの2次偏導関数を表します。これはポアソン方程式であり、物理的には熱伝導の問題やポテンシャル理論の問題などとして解釈できます。

fとg をフーリエ級数で 表すと次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}}$

これを微分方程式に代入すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \sum -a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.}$

我々は偏微分を無限和と交換したが、これは例えばfが連続した2次導関数を持つと仮定すれば正当である。フーリエ展開の一意性定理により、フーリエ係数を項ごとに等しくする必要があり、次のようになる。

これはフーリエ係数a _j、kの明示的な式です。

周期境界条件では、ポアソン方程式はb _0,0 = 0の場合にのみ解を持ちます。したがって、解像度の平均に等しくなるa _{0,0 を}自由に選択できます。これは積分定数を選択することに対応します。

これをアルゴリズムに変換するには、有限個の周波数のみを解きます。これにより、 に比例することが示される誤差が生じます。ここで、 は処理される最高周波数です。 ${\displaystyle h^{n}}$${\displaystyle h:=1/n}$${\displaystyle n}$

1. gのフーリエ変換 ( b _j,k ) を計算します。
2. 式( * )を使用してfのフーリエ変換( a _j,k )を計算します。
3. ( a _j,k )の逆フーリエ変換を行ってfを計算します。

私たちが関心を持っているのは有限の周波数ウィンドウ（たとえばサイズn ）だけなので、これは高速フーリエ変換アルゴリズムを使用して実行できます。したがって、全体的にアルゴリズムはO ( n log n ) の時間で実行されます。

スペクトルアプローチを使用して、 強制された過渡的非線形バーガース方程式を解きたいと考えています。

周期領域 が 与えられている場合 、${\displaystyle u(x,0)}$${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle \partial _{t}u+u\partial _{x}u=\rho \partial _{xx}u+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$

ここでρは粘性係数である。弱保存形式では、これは次のようになる。

${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle ={\Bigl \langle }\partial _{x}\left(-{\tfrac {1}{2}}u^{2}+\rho \partial _{x}u\right),v{\Bigr \rangle }+\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$

ここで、内積表記に従う。部分積分と周期性付与の使用

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,v\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$

フーリエ・ガラーキン法を適用するには、両方を選択します。

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1} {\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}}$

そして

${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}}$

ここで、 となる 。これにより、問題は${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$

${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

クロネッカーデルタである直交関係を用いて、上記の3つの項をそれぞれについて簡略化すると、 ${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$${\displaystyle \delta_{lk}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},\\\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{k},{\text{ and}}\\\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$

それぞれの3つの項をまとめると、 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle 2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

を で割ると、最終的に に到達します。 ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}_{k}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$

フーリエ変換された初期条件と強制 を用いて、この常微分方程式の結合系を時間で積分し（例えば、ルンゲ・クッタ法を用いて）、解を求めることができます。非線形項は畳み込みであり、これを効率的に評価するための変換ベースの手法がいくつかあります。詳細については、Boyd および Canuto らの参考文献を参照してください。 ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$

が無限に微分可能である場合、高速フーリエ変換を使用した数値アルゴリズムは、グリッド サイズ h 内のどの多項式よりも速く収束することが示せます。つまり、n>0 の任意の値に対して、十分に小さいすべての値に対して誤差が 未満となるような が存在します。スペクトル法は、n>0 の任意の値に対して、次数が であると言えます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle C_{n}<\infty }$${\displaystyle C_{n}h^{n}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$

スペクトル要素法は、非常に高次の有限要素法であるため、収束特性に類似点があります。ただし、スペクトル法は特定の境界値問題の固有値分解に基づいていますが、有限要素法ではその情報は使用されず、任意の楕円境界値問題に対して機能します。

• 有限要素法
• ガウスグリッド
• 擬似スペクトル法
• スペクトル要素法
• ガラーキン法
• 共起法

• Bengt Fornberg (1996) 『擬似スペクトル法の実践ガイド』ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国
• John P. Boyd 著「チェビシェフとフーリエのスペクトル法」
• Canuto C.、Hussaini MY、Quarteroni A.、Zang TA (2006)スペクトル法。単一ドメインの基礎。Springer -Verlag、ベルリン ハイデルベルク
• Javier de Frutos、Julia Novo (2000): 精度が向上したナビエ・ストークス方程式のスペクトル要素法
• 微分方程式の多項式近似、ダニエル・フナロ著、物理学講義ノート、第 8 巻、シュプリンガー・フェアラーク、ハイデルベルク、1992 年
• D. Gottlieb および S. Orzag (1977)「スペクトル法の数値解析:理論と応用」、SIAM、フィラデルフィア、ペンシルバニア州
• J. Hesthaven、S. Gottlieb、D. Gottlieb (2007)「時間依存問題に対するスペクトル法」、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、英国
• スティーブン A. オルザグ (1969)乱流シミュレーションの数値的手法、Phys. Fluids Supp. II、12、250–257
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)。「セクション 20.7. スペクトル法」。数値レシピ: 科学計算の技法(第 3 版)。ニューヨーク: Cambridge University Press。ISBN 978-0-521-88068-8。
• Jie Shen、Tao Tang、Li-Lian Wang (2011)「スペクトル法: アルゴリズム、分析、アプリケーション」(Springer Series in Computational Mathematics、V. 41、Springer)、ISBN 354071040X 
• Lloyd N. Trefethen (2000) MATLAB におけるスペクトル法。SIAM、フィラデルフィア、ペンシルバニア州