算術幾何平均

数学において、 2つの正の実数xとyの算術幾何平均（AGMまたはagM ^[1]）は、算術平均の列と幾何平均の列の相互極限です。算術幾何平均は、指数関数、三角関数、その他の特殊関数、およびいくつかの数学定数、特にπの計算の高速アルゴリズムで使用されます。

AGM は、相互依存する数列 との極限として定義されます。 と仮定すると、次のように記述できます。これらの 2 つの数列は、 xとyの算術幾何平均である同じ数に収束します。これはM ( x , y )、またはagm( x , y )やAGM( x , y )と表記されることもあります。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle x\geq y\geq 0}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

算術幾何平均は複素数に拡張することができ、平方根の分岐が矛盾してとられる場合、一般的には多値関数となる。^[1]

a ₀ = 24とg ₀ = 6の算術幾何平均を求めるには、次のように繰り返します。最初の 5 回の反復で次の値が得られます。 $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$

a _nとg _{n が}一致する桁数（下線部）は、反復ごとに約2倍になります。24と6の算術幾何平均は、これら2つの数列の共通の極限であり、約13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544。^[2]

この数列ペアに基づく最初のアルゴリズムはラグランジュの著作に登場した。その特性はガウスによってさらに分析された。^[1]

２つの正の数xとyの幾何平均と算術平均は、どちらも２つの数の間にあります。（x ≠ yのときは厳密に２つの数の間にあります。）２つの正の数の幾何平均は算術平均より大きくなることはありません。^[3]したがって、幾何平均は増加数列g ₀ ≤ g ₁ ≤ g ₂ ≤ ...であり、算術平均は減少数列a ₀ ≥ a ₁ ≥ a ₂ ≥ ...であり、任意のnについてg _n ≤ M ( x , y ) ≤ a _nです。x ≠ yの場合、これらは厳密な不等式です。

したがって、 M ( x , y ) はxとyの間の数値であり、 xとyの幾何平均と算術平均の間の数値でもあります。

r ≥ 0の場合、M ( rx , ry ) = r M ( x , y )となります。

M ( x , y )の積分形式の表現があります: ^[4]ここでK ( k )は第1種の完全楕円積分です:算術幾何処理は非常に速く収束するため、楕円積分を効率的に計算することができ、例えば楕円フィルタの設計に使用されます。^[5]$${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {xy}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$$

算術幾何平均は^[6]によってヤコビのθ関数 と結びついており、これを設定することで${\displaystyle \theta _{3}}$$${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$$${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

1 の算術幾何平均と2 の平方根の逆数はガウス定数です。1799年にガウスは^{[注 1] が}レムニスケート定数であることを証明しました。 $${\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$$${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$${\displaystyle \varpi}$

1941 年、(したがって) はテオドール・シュナイダーによって超越関数であることが証明されました。^{[注 2] [7] [8]}集合は上で代数的に独立ですが、^{[9] [10]}集合(プライムは第 2 変数に関する導関数を表す) は 上で代数的に独立ではありません。実際、^[11]幾何調和平均GH は、幾何平均と調和平均の類似したシーケンスを使用して計算でき、実際、GH( x , y ) = 1/ M (1/ x , 1/ y ) = xy / M ( x , y )です。^[12] 算術調和平均は幾何平均と同等です。 ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$$${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$

算術幾何平均は、対数、 第一種および第二種の完全楕円積分と不完全楕円積分、^[13]ヤコビの楕円関数^[14]などの計算に使用できます。

算術平均と幾何平均の不等式は、を意味し、したがって、つまり、シーケンスg _{n は}非減少であり、xとyの大きい方によって上方に制限されます。単調収束定理により、シーケンスは収束するため、次のgが存在します。ただし、次のこともわかります。したがって、 次のようになります。 $${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$$${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

QED

この証明はガウスによって与えられている 。^[1]

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta}{\sqrt {x^{2}\cos^{2}\theta +y^{2}\sin^{2}\theta }}},}$$

積分の変数を に変更すると、 ${\displaystyle \theta '}$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(xy)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(xy)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(xy)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}$$ $${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}$$

これにより $${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}$$

与える

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

したがって、

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$ 最後の等式は、次のことを観察することによって得られます。 ${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$

最終的に、望ましい結果が得られます

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

ガウス・ルジャンドルアルゴリズムによれば、^[15]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$$

どこ

$${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}$$

と は、次のようにして精度を落とさずに計算できる。 ${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}$$

株主総会の開催と収益 ${\displaystyle a_{0}=1}$${\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }$

$${\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}$$

ここでK ( k )は第一種完全楕円積分である。

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}$$

つまり、この四半期期間は株主総会を通じて効率的に計算できるという ことです。$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}$$

AGMのこの特性をジョン・ランデンの上昇変換と組み合わせて使用​​して、^[16] リチャード・P・ブレント^[17]は初等超越関数（e ^x、cos  x、sin  x）を高速に評価する最初のAGMアルゴリズムを提案しました。その後、多くの著者がAGMアルゴリズムの使用を研究しました。^[18]

• ランデンの変容
• ガウス・ルジャンドルアルゴリズム
• 一般化平均