逆距離重み付け

逆距離加重法（IDW ）は、既知の散在点集合を用いた多変量補間のための決定論的手法の一種である。未知の点に割り当てられる値は、既知の点で利用可能な値の加重平均で計算される。この方法は、空間自己相関分析（例：Moran's I ）における空間重み行列の作成にも使用できる。^[1]

このタイプの方法に付けられた名前は、重みを割り当てるときに各既知のポイントまでの距離の逆数 (「近接量」) に頼るため、適用される 加重平均に由来しています。

期待される結果は、研究領域における 未知の関数の離散的な割り当てです。${\displaystyle u}$

${\displaystyle u(x):x\to \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbf {D} \subset \mathbb {R} ^{n},}$

研究地域は どこですか。${\displaystyle \mathbf {D} }$

既知のデータポイントのセットは、タプルのリストとして記述できます。 ${\displaystyle N}$

${\displaystyle [(x_{1},u_{1}),(x_{2},u_{2}),...,(x_{N},u_{N})].}$

関数は「滑らか」（連続かつ一度微分可能）で、正確（）であり、調査中の現象に関するユーザーの直感的な期待を満たす必要があります。さらに、関数は、妥当なコストでコンピューター アプリケーションに適したものでなければなりません（今日では、基本的な実装では並列リソースが使用される可能性があります）。 ${\displaystyle u(x_{i})=u_{i}}$

ハーバード大学コンピュータグラフィックス・空間分析研究所では、1965年からさまざまな科学者が集まり、現在では地理情報システムと呼ばれているものなどを再考しました。^[2]

研究所の原動力となったハワード・フィッシャーは、SYMAP と名付けた改良型コンピュータマッピングプログラムを考案しました。フィッシャーは当初から補間の改良を望んでいました。彼はハーバード大学の新入生に SYMAP での成果を見せ、その多くが研究所のイベントに参加しました。新入生の一人であるドナルド・シェパードは、SYMAP の補間を徹底的に改良することを決意し、その結果 1968 年に有名な論文を発表しました。^[3]

シェパードのアルゴリズムは、ウィリアム・ワーンツや、空間分析に携わった研究所の他の人々の理論的アプローチにも影響を受けました。彼は距離の指数を使って数々の実験を行い、重力モデルに近いもの (指数 -2) を決定しました。シェパードは、基本的な逆距離加重を実装しただけでなく、補間に対する障壁 (透過性および絶対性) も許可しました。

当時、他の研究センター、特にカンザス大学とその SURFACE II プログラムが補間に取り組んでいました。それでも、学部生がプログラムしたにもかかわらず、SYMAP の機能は最先端のものでした。

サンプルポイントのセットが与えられた場合、IDW補間関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle \{\mathbf {x} _{i},u_{i}|{\text{for }}\mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{n},u_{i}\in \mathbb {R} \}_{i=1}^{N}}$${\displaystyle u(\mathbf {x} ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\dfrac {\sum _{i=1}^{N}{w_{i}(\mathbf {x} )u_{i}}}{\sum _{i=1}^{N}{w_{i}(\mathbf {x} )}}},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})\neq 0{\text{ for all }}i,\\u_{i},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})=0{\text{ for some }}i,\end{cases}}}$

どこ

${\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})^{p}}}}$

は、シェパード^{[3]によって定義された単純なIDW重み付け関数であり、} xは補間された（任意の）点を表し、x _{i は}補間する（既知の）点であり、既知の点x _iから未知の点xまでの与えられた距離（メトリック演算子）、Nは補間に使用される既知の点の総数であり、べき乗パラメータと呼ばれる正の実数です。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$

ここで、重みは補間点からの距離が増すにつれて減少します。 の値が大きいほど、補間点に最も近い値の影響が大きくなります。その結果、pの値が大きい場合、補間値がほぼ一定となるタイルのモザイク（ボロノイ図）になります。2次元の場合、パワーパラメータによって補間値は遠く離れた点によって支配されます。これは、から までの距離の間にあるデータポイントと隣接ポイントの密度では、合計重みはおよそ次のようになる ためです。${\displaystyle p}$${\displaystyle p\leq 2}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \sum _{j}w_{j}\approx \int _{r_{0}}^{R}{\frac {2\pi r\rho \,dr}{r^{p}}}=2\pi \rho \int _{r_{0}}^{R}r^{1-p}\,dr,}$

これは、およびについて発散します。M 次元の場合、同じ議論が にも当てはまります。p の値を選択する際には、補間で必要な平滑化の度合い、補間されるサンプルの密度と分布、および個々のサンプルが周囲のサンプルに影響を与えることが許される最大距離を考慮することができます。 ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$${\displaystyle p\leq 2}$${\displaystyle p\leq M}$

シェパード法は、補間点の組{ x、u } と補間された点の組 { x _i、u _i } の間の偏差の尺度に関連する関数の最小化の結果であり、次のように定義されます。

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{i=0}^{N}{\frac {(u-u_{i})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},}$

最小化条件から導かれる：

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.}$

この方法は他の次元空間にも簡単に拡張でき、実際はラグランジュ近似を多次元空間に一般化したものです。三変量補間用に設計されたアルゴリズムの修正版はRobert J. Renka ^{[4]によって開発され、} NetlibのTOMSライブラリのアルゴリズム661として利用可能です。

Shepard 法の別の修正では、R球内の最近傍点のみを使用して補間値を計算します (全サンプルではなく)。この場合、重みはわずかに変更されます。

${\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )=\left({\frac {\max(0,R-d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k}))}{Rd(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}}\right)^{2}.}$

高速な空間探索構造（ kd-treeなど）と組み合わせると、大規模な問題に適した効率的なN log N補間法になります。

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