線形2次レギュレータ

最適制御の理論は、動的システムを最小コストで動作させることに関係しています。システムダイナミクスが線形微分方程式のセットによって記述され、コストが2 次 関数によって記述される場合は、LQ 問題と呼ばれます。理論の主な結果の 1 つは、その解決策が線形 2 次レギュレータ( LQR )によって提供されることです。これは、方程式が以下に示されているフィードバック コントローラです。

LQRコントローラは、ゲインと位相マージンが保証された固有の堅牢性を備えており、^[1] LQG（線形–二次–ガウス）問題の解決策の一部でもあります。LQR問題自体と同様に、LQG問題は制御理論における最も基本的な問題の1つです。^[2]

機械またはプロセス (飛行機や化学反応器など) を制御する (調整) コントローラの設定は、人間 (エンジニア) によって提供される重み係数を使用してコスト関数を最小化する数学アルゴリズムを使用して見つけられます。コスト関数は、高度やプロセス温度などの主要な測定値の目標値からの偏差の合計として定義されることがよくあります。したがって、アルゴリズムは、望ましくない偏差を最小化するコントローラ設定を見つけます。制御アクション自体の大きさもコスト関数に含まれる場合があります。

LQR アルゴリズムは、制御システム エンジニアがコントローラを最適化するために行う作業量を削減します。ただし、エンジニアはコスト関数パラメータを指定し、その結果を指定された設計目標と比較する必要があります。多くの場合、これはコントローラの構築が反復的なプロセスになることを意味します。エンジニアはシミュレーションによって生成された「最適な」コントローラを判断し、パラメータを調整して設計目標とより一致するコントローラを生成します。

LQR アルゴリズムは、本質的には適切な状態フィードバック コントローラを自動的に見つける方法です。そのため、制御エンジニアが、コントローラ パラメータとコントローラの動作の関係がより明確な、極配置とも呼ばれるフル ステート フィードバックなどの代替方法を好むことは珍しくありません。適切な重み係数を見つけるのが難しいため、LQR ベースのコントローラ合成の適用が制限されます。

上で定義される連続時間線形システムの場合、次のように記述されます。 ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

ここで、（つまり、は- 次元の実数値ベクトル）はシステムの状態であり、は制御入力です。システムの 2 次コスト関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{m}}$

${\displaystyle J=x^{T}(t_{1})F(t_{1})x(t_{1})+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt}$

ここで、は初期コスト行列、は状態コスト行列、は制御コスト行列、は交差項（制御と状態）コスト行列です。コストの値を最小化するフィードバック制御法則は次のようになります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle u=-Kx\,}$

ここで、は次のように与えられます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T})\,}$

連続時間リカッチ微分方程式を解くことによって求められます。 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A^{T}P(t)+P(t)A-(P(t)B+N)R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T})+Q=-{\dot {P}}(t)\,}$

境界条件:

${\displaystyle P(t_{1})=F(t_{1}).}$

_{J min}の一次条件は次のとおりです。

1) 状態方程式

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

2)共状態方程式

${\displaystyle -{\dot {\lambda}}=Qx+Nu+A^{T}\lambda }$

3) 定常方程式

${\displaystyle 0=Ru+N^{T}x+B^{T}\lambda }$

4) 境界条件

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$

そして ${\displaystyle \lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})}$

次のように記述される連続時間線形システムの場合:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+Bu}$

コスト関数は次のように定義されます。

${\displaystyle J=\int _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt}$

コストの値を最小化するフィードバック制御法則は次のとおりです。

${\displaystyle u=-Kx\,}$

ここで、は次のように与えられます。 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K=R^{-1}(B^{T}P+N^{T})\,}$

連続時間代数リカッチ方程式を解くことによって求められます。 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle A^{T}P+PA-(PB+N)R^{-1}(B^{T}P+N^{T})+Q=0\,}$

これは次のように書くこともできます:

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{T}P+P{\mathcal {A}}-PBR^{-1}B^{T}P+{\mathcal {Q}}=0\,}$

と

${\displaystyle {\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}\,}$

離散時間線形システムの場合、次のように記述される: ^[3]

${\displaystyle x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,}$

パフォーマンス指標は次のように定義されます。

${\displaystyle J=x_{H_{p}}^{T}Q_{H_{p}}x_{H_{p}}+\sum \limits _{k=0}^{H_{p}-1}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right)}$、時間軸はどこにあるか${\displaystyle H_{p}}$

パフォーマンス指標を最小化する最適な制御シーケンスは次のように与えられます。

${\displaystyle u_{k}=-F_{k}x_{k}\,}$

どこ：

${\displaystyle F_{k}=(R+B^{T}P_{k+1}B)^{-1}(B^{T}P_{k+1}A+N^{T})\,}$

これは動的リカッチ方程式によって時間を遡って反復的に求められます。 ${\displaystyle P_{k}}$

${\displaystyle P_{k-1}=A^{T}P_{k}A-(A^{T}P_{k}B+N)\left(R+B^{T}P_{k}B\right)^{-1}(B^{T}P_{k}A+N^{T})+Q}$

終端状態から。^{[4] は}定義されていないことに注意。なぜなら はによって最終状態に導かれるからである。 ${\displaystyle P_{H_{p}}=Q_{H_{p}}}$${\displaystyle u_{H_{p}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{H_{p}}}$${\displaystyle Ax_{H_{p}-1}+Bu_{H_{p}-1}}$

次のように記述される離散時間線形システムの場合:

${\displaystyle x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,}$

パフォーマンス指標は次のように定義されます。

${\displaystyle J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right)}$

パフォーマンス指標を最小化する最適な制御シーケンスは次のように与えられます。

${\displaystyle u_{k}=-Fx_{k}\,}$

どこ：

${\displaystyle F=(R+B^{T}PB)^{-1}(B^{T}PA+N^{T})\,}$

これは離散時間代数リカッチ方程式(DARE) の唯一の正定値解です。 ${\displaystyle P}$

${\displaystyle P=A^{T}PA-(A^{T}PB+N)\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}(B^{T}PA+N^{T})+Q}$。

これは次のように書くこともできます:

${\displaystyle P={\mathcal {A}}^{T}P{\mathcal {A}}-{\mathcal {A}}^{T}PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P{\mathcal {A}}+{\mathcal {Q}}}$

と：

${\displaystyle {\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal {Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}}$。

代数リカッチ方程式を解く 1 つの方法は、有限時間の場合の動的リカッチ方程式を収束するまで反復することであることに注意してください。

実際には、 のすべての値が許容されるわけではありません。一般的な制約の 1 つは線形制約です。 ${\displaystyle x_{k},u_{k}}$

${\displaystyle C\mathbf {x} +D\mathbf {u} \leq \mathbf {e} .}$

この有限時間バージョンは凸最適化問題であり、この問題はしばしば後退時間で繰り返し解かれる。これはモデル予測制御の一形態である。^{[5] [6]}

状態方程式が2次式の場合、問題は2次2次レギュレータ（QQR）として知られています。Al'Brekhtアルゴリズムを適用することで、この問題をテンソルベースの線形ソルバーを使用して効率的に解ける問題に縮小することができます。^[7]

状態方程式が多項式の場合、この問題は多項式二次レギュレータ（PQR）として知られています。ここでも、Al'Brekhtアルゴリズムを適用して、この問題を大きな線形問題に縮小し、Bartels-Stewartアルゴリズムの一般化で解決することができます。これは、多項式の次数が高すぎない場合に実行可能です。^[8]

モデル予測制御と線形二次レギュレータは、最適化コストを設定するための異なるアプローチを持つ 2 種類の最適制御方法です。特に、LQR が後退ホライズンで繰り返し実行される場合、モデル予測制御(MPC) の一種になります。ただし、一般に、MPC はシステムの線形性に関する仮定に依存しません。

• クワルナーク、ホイベルト。シヴァン、ラファエル (1972)。線形最適制御システム(第 1 版)。ワイリー・インターサイエンス。ISBN 0-471-51110-2。
• ソンタグ、エドゥアルド(1998)。『数理制御理論：決定論的有限次元システム』（第 2 版）。シュプリンガー。ISBN 0-387-98489-5。

• 線形二次レギュレータ設計のための MATLAB 関数
• 線形二次レギュレータ設計のための Mathematica 関数