ベクトル最適化

ベクトル最適化は数学的最適化のサブ領域であり、ベクトル値の目的関数を持つ最適化問題が、与えられた部分的な順序付けに関して、また特定の制約に従って最適化されます。多目的最適化問題はベクトル最適化問題の特殊なケースです。目的空間は、成分ごとに「以下」の順序付けによって部分的に順序付けられた有限次元 ユークリッド空間です。

数学的に言えば、ベクトル最適化問題は次のように記述できます。

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

ここで、半順序ベクトル空間です。半順序は錐 によって誘導されます。は任意の集合であり、実行可能集合と呼ばれます。 ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle C\subseteq Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X}$

最小性にはさまざまな概念があり、その中には次のようなものがあります。

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$任意の に対して が成り立つとき、 は弱効率的点（弱最小化点）です。${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$任意の に対してが存在する場合、 は効率的な点(最小化点)です。${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$が閉じた尖った凸錐に関して弱効率的な点である場合、 は適切に効率的な点(適切な最小化点)です。${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$${\displaystyle C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}}$

すべての適切な最小化者は最小化者である。そしてすべての最小化者は弱い最小化者である。^[1]

現代の解決概念は、最小値の概念だけでなく、最小値達成も考慮に入れています。^[2]

• 線形ベクトル最適化問題に対するベンソンのアルゴリズム。^[2]

多目的最適化問題は次のように記述できる。

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

ここで、およびは の非負直交関数です。したがって、このベクトル最適化問題の最小化点はパレート効率的な点です。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$