ラジアル基底関数

数学において、ラジアル基底関数( RBF ) は、その値が入力と何らかの固定点 (原点、つまり) または何らかの固定点(中心)の間の距離のみに依存する実数値関数 です。この特性を満たす関数はすべてラジアル関数です。距離は通常ユークリッド距離ですが、他の測定基準が使用されることもあります。これらは、関心のある何らかの関数空間の基底を形成するコレクションとしてよく使用されるため、この名前が付けられています。 ${\textstyle \varphi }$${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$${\textstyle \mathbf {c} }$${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$${\textstyle \varphi }$${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$${\displaystyle \{\varphi _{k}\}_{k}}$

ラジアル基底関数の和は、通常、与えられた関数を近似するために使用されます。この近似プロセスは、単純な種類のニューラルネットワークとして解釈することもできます。これは、1988年にデビッド・ブルームヘッドとデビッド・ロウが行った研究^{[1] [2]}で、機械学習に最初に適用されたコンテキストであり、これはマイケル・J・D・パウエルの1977年の独創的な研究に端を発しています。 ^{[3] [4] [5] RBFは、}サポートベクター分類のカーネル としても使用されます。^[6]この手法は効果的で柔軟性が高いことが証明されているため、ラジアル基底関数は現在、さまざまなエンジニアリングアプリケーションに適用されています。^{[7] [8]}

ラジアル関数は関数 です。ベクトル空間 上のノルムと組み合わせると、形式の関数はを中心とするラジアルカーネルと呼ばれます。ラジアル関数とそれに関連付けられたラジアルカーネルは、任意の有限のノード集合に対して、次の条件がすべて満たされる 場合、ラジアル基底関数と呼ばれます。${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$${\textstyle \mathbf {c} \in V}$${\displaystyle \{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}\subseteq V}$

一般的に使用されるラジアル基底関数の種類には以下のものがある（ラジアルカーネルの入力をスケーリングするために使用できる形状パラメータを示すために記述および使用^[11]）。 ${\textstyle r=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\right\|}$${\textstyle \epsilon }$

ラジアル基底関数は、典型的には、次の形式の 関数近似を構築するために使用される。

ここで、近似関数は、それぞれ異なる中心に関連付けられ、適切な係数によって重み付けされたラジアル基底関数の合計として表されます。近似関数は重みに対して線形であるため、重みは線形最小二乗法の行列法を使用して推定できます。 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$${\displaystyle N}$${\textstyle \mathbf {x} _{i}}$${\textstyle w_{i}.}$${\textstyle w_{i}}$${\textstyle w_{i}}$

この種の近似方式は、特に、^{十分に単純}なカオス的挙動を示す非線形システムの時系列予測と制御、およびコンピュータグラフィックスにおける3D再構成（たとえば、階層型RBFやポーズ空間変形）に使用されています[引用が必要]。

合計

は、ラジアル基底関数ネットワークと呼ばれる、かなり単純な単層型の人工ニューラルネットワークとして解釈することもでき、ラジアル基底関数はネットワークの活性化関数の役割を果たします。十分に大きな数のラジアル基底関数が使用される場合、コンパクトな区間上の任意の連続関数は、原理的にはこの形式の和によって任意の精度で補間できることが示されます。 ${\textstyle N}$

近似値は重みに関して微分可能である。したがって、重みはニューラル ネットワークの標準的な反復法のいずれかを使用して学習できる。 ${\textstyle y(\mathbf {x} )}$${\textstyle w_{i}}$

このようにラジアル基底関数を使用すると、フィッティング セットが範囲全体を体系的にカバーするように選択されている限り、妥当な補間アプローチが得られます (等距離のデータ ポイントが理想的です)。ただし、ラジアル基底関数に直交する多項式項がない場合、フィッティング セット外の推定値はパフォーマンスが低下する傾向があります。^{[引用が必要]}

ラジアル基底関数は関数を近似するために使用されるため、偏微分方程式 (PDE) を離散化して数値的に解くために使用できます。これは、最初の RBF ベースの数値法を開発した EJ Kansa によって 1990 年に初めて行われました。これはKansa 法と呼ばれ、楕円ポアソン方程式と線形移流拡散方程式を解くために使用されました。領域内の点における関数値は、RBF の線形結合によって近似されます。 ${\displaystyle \mathbf {x} }$

導関数は次のように近似されます。

ここで、離散化された領域内の点の数、領域の次元、および微分演算子によって変化しないスカラー係数である。^[13]${\displaystyle N}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \lambda }$

その後、ラジアル基底関数に基づくさまざまな数値計算法が開発されました。その例としては、RBF-FD法^{[14] [15]、} RBF-QR法^[16]、RBF-PUM法^{[17]などがあります。}

• マテルン共分散関数
• ラジアル基底関数補間
• カンサ法

• Hardy, RL (1971)。「地形とその他の不規則な表面の多重二次方程式」。Journal of Geophysical Research。76 ( 8 ): 1905–1915。Bibcode : 1971JGR ....76.1905H。doi : 10.1029/jb076i008p01905。
• Hardy, RL (1990). 「多重二次二調和法の理論と応用、発見の20年、1968 1988」。Comp . Math Applic . 19 (8/9): 163–208. doi : 10.1016/0898-1221(90)90272-l。
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「セクション 3.7.1. ラジアル基底関数補間」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-88068-8
• Sirayanone, S.、1988、「鉱物資源問題を解決するためのクリギング、多重二次重調和法、およびその他の方法の比較研究」、博士論文、アイオワ州立大学地球科学部、アイオワ州エイムズ。
• Sirayanone, S.; Hardy, RL (1995). 「鉱物資源、気象、およびその他のアプリケーションに使用される多重二次双調和法」。応用科学および計算ジャーナル。1 : 437–475。