区間有限要素

数値解析において、区間有限要素法（区間 FEM）は区間パラメータを使用する有限要素法です。区間 FEM は、構造物の信頼性の高い確率特性を取得できない場合に適用できます。これは、コンクリート構造物、木造構造物、地質力学、複合構造物、生体力学、その他多くの分野で重要です。^{[1]区間有限要素法の目的は、モデルのさまざまな特性（}応力、変位、降伏面など）の上限と下限を見つけ、これらの結果を設計プロセスで使用することです。これはいわゆる最悪ケース設計であり、限界状態設計と密接に関連しています。

最悪ケース設計では確率設計よりも必要な情報が少なくなりますが、結果はより保守的になります [Köylüoglu and Elishakoff 1998]。^{[引用が必要]}

次の方程式を考えます。 ここで、aとbは実数、 です。 $${\displaystyle ax=b}$$${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$

多くの場合、パラメータaとbの正確な値は不明です。

と と仮定しましょう。この場合、次の方程式を解く必要があります。 ${\displaystyle a\in [1,2]=\mathbf {a} }$${\displaystyle b\in [1,4]=\mathbf {b} }$$${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$

区間パラメータを持つこの方程式の解の集合にはいくつかの定義があります。

このアプローチでは、解決策は次の集合となる。 $${\displaystyle \mathbf {x} =\left\{x:ax=b,a\in \mathbf {a} ,b\in \mathbf {b} \right\}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}={\frac {[1,4]}{[1,2]}}=[0.5,4]}$$

これは区間方程式の最も一般的な解セットであり、この記事ではこの解セットを適用します。

多次元の場合、統一された解集合ははるかに複雑になります。次の線形区間方程式 系の解集合は 、次の図に示されています。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{[-4,-3]}&{[-2,2]}\\{[-2,2]}&{[-4,-3]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[-8,8]}\\{[-8,8]}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )=\{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$

正確な解集合は非常に複雑なので、正確な解集合を含む最小の区間を見つける必要がある。 $${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=\diamondsuit \{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$ または単に [1]も 参照 $${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=[{\underline {x}}_{1},{\overline {x}}_{1}]\times [{\underline {x}}_{2},{\overline {x}}_{2}]\times \dots \times [{\underline {x}}_{n},{\overline {x}}_{n}]}$$$${\displaystyle {\underline {x}}_{i}=\min\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \},\ \ {\overline {x}}_{i}=\max\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$ $${\displaystyle x_{i}\in \{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}=[{\underline {x}}_{i},{\overline {x}}_{i}]}$$

区間有限要素法では、パラメータ依存の連立方程式（通常は対称正定値行列）の解が必要です。一般的なパラメータ依存の連立方程式の解の例

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}\\p_{2}+1&p_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}\\2p_{1}-6\end{bmatrix}},\ \ {\text{for}}\ \ p_{1}\in [2,4],p_{2}\in [-2,1].}$$ 下の図に示されています。^[2]

このアプローチでは、xは方程式 が満たされる区間数です 。言い換えると、方程式の左辺は方程式の右辺に等しいということです。この特定のケースでは、解は次のように なります。$${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$${\displaystyle x=[1,2]}$$${\displaystyle ax=[1,2][1,2]=[1,4]}$$

不確実性 が大きい場合、すなわち、${\displaystyle a=[1,4]}$${\displaystyle x=[1,1]}$$${\displaystyle ax=[1,4][1,1]=[1,4]}$$

不確実性がさらに大きい場合、つまり の場合、解は存在しません。代数的区間解集合の物理的な解釈を見つけることは非常に複雑です。したがって、応用においては、統合解集合が通常適用されます。 ${\displaystyle a=[1,8]}$

区間パラメータを持つ偏微分方程式を考える

ここで、は与えられた区間に属するパラメータのベクトルである。 ${\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }}$$${\displaystyle p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},}$$ $${\displaystyle {\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.}$$

たとえば、熱伝達方程式 では、 は区間パラメータです (つまり)。 $${\displaystyle k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega }$$ $${\displaystyle u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega }$$${\displaystyle k_{x},k_{y}}$${\displaystyle k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}}$

式（１）の解は次のように定義できる。 $${\displaystyle {\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

例えば、熱伝達方程式の場合 $${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

解は非常に複雑であるため、実際には、正確な解の集合を含む可能な限り最小の区間を見つけることの方が興味深いです。 ${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

例えば、熱伝達方程式の場合 $${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

有限要素法では、次のパラメータ依存の代数方程式系が得られます。 ここで、Kは剛性行列、Q は右辺です。 $${\displaystyle K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }}$$

区間解は多値関数として定義できる $${\displaystyle {\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

最も単純なケースでは、上記のシステムは線形区間方程式のシステムとして扱うことができます。

区間解を次の最適化問題の解として定義することもできる。 $${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

多次元の場合、区間解は次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]}$$

間隔パラメータは、均一に分布するランダム変数とは異なる結果を生成することを知っておくことが重要です。

間隔パラメータは、すべての可能な確率分布（ の場合）を考慮に入れます。 ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$${\displaystyle p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]}$

間隔パラメータを定義するには、上限と下限のみを知る必要があります。 ${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle {\underline {p}}}$

確率特性の計算には、多くの実験結果に関する知識が必要です。

n 個の区間数の合計が、適切な正規分布のランダム変数の合計よりも 1 倍広いことを示すことができます。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

n区間数の合計は ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$$${\displaystyle n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]}$$

その間隔の幅は $${\displaystyle n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p}$$

正規分布する確率変数 Xを考えます。 $${\displaystyle m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}}$$

n 個の正規分布するランダム変数の合計は、以下の特性を持つ正規分布するランダム変数です (シックスシグマを参照) $${\displaystyle E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}}$$

確率的結果の幅は 6 シグマに等しいと想定できます ( Six Sigmaと比較)。 $${\displaystyle 6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p}$$

これで、区間結果の幅と確率結果を比較することができる。 $${\displaystyle {\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}}$$

そのため、区間有限要素法 (または一般的な最悪ケース解析) の結果は、確率有限要素法解析と比較して過大評価される可能性があります (不確実性の伝播も参照)。ただし、非確率的不確実性の場合、純粋な確率的方法を適用することはできません。その場合の確率特性は正確にはわからないためです ( Elishakoff 2000)。

間隔パラメータ（例えば、間隔平均、分散など）を使用してランダム（およびファジーランダム変数）を考慮することが可能です。一部の研究者は、統計計算で間隔（ファジー）測定を使用します（例：[2] Archived 2010-06-16 at the Wayback Machine）。このような計算の結果、いわゆる不正確な確率が得られます。

不正確な確率は非常に広い意味で理解されています。これは、明確な数値的確率なしに偶然性や不確実性を測定するすべての数学モデルをカバーする一般的な用語として使用されます。これには、質的モード（比較確率、部分的な選好順序など）と量的モード（区間確率、確信関数、上限と下限の予測など）の両方が含まれます。不正確な確率モデルは、関連情報が乏しい、曖昧である、または矛盾している推論問題や、選好も不完全な可能性がある決定問題で必要です [3]。

張力-圧縮問題では、変位uと力Pの関係は次の式で表されます。 ここで、Lは長さ、Aは断面積、Eはヤング率です。 $${\displaystyle {\frac {EA}{L}}u=P}$$

ヤング率と力が不確かな場合、 $${\displaystyle E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

変位uの上限と下限を見つけるには、次の偏微分を計算します。 $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0}$$

変位の極値は次のように計算します。 $${\displaystyle {\underline {u}}=u({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {{\underline {P}}L}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}=u({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {{\overline {P}}L}{{\underline {E}}A}}}$$

次の式を使用してひずみを計算します。 $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{L}}u}$$

変位からの微分を使用してひずみの微分を計算します。 $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0}$$

変位の極値は次のように計算します。 $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

変位を用いてひずみの極値を計算することも可能であり 、 $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0}$$$${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {u}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {u}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

同じ方法論をストレス に も 適用することができ 、 $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {P}{EA}}-{\frac {P}{EA}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0}$$$${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

ストレスを歪みの関数として扱うと 、 $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon )=E>0}$$$${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {\varepsilon }})=E{\underline {\varepsilon }}={\frac {\underline {P}}{A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {\varepsilon }})=E{\overline {\varepsilon }}={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

応力が所定の値より小さい場合、構造は安全です。つまり、 この条件が真となるのは、 ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{0}}$$${\displaystyle \sigma <\sigma _{0}}$$$${\displaystyle {\overline {\sigma }}<\sigma _{0}}$$

計算の結果、この関係が満たされることがわかる。 $${\displaystyle {\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}}$$

この例は非常に単純ですが、力学における間隔パラメータの応用を示しています。間隔 FEM は、多次元の場合に非常によく似た方法論を使用します [Pownuk 2004]。

しかし、多次元の場合、不確実なパラメータと解の関係は必ずしも単調ではない。そのような場合には、より複雑な最適化手法を適用する必要がある。^[1]

引張圧縮問題の場合、平衡方程式は次の形式になります。 ここで、 uは変位、Eはヤング率、Aは断面積、nは分布荷重です。一意の解を得るためには、適切な境界条件を追加する必要があります。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0}$$$${\displaystyle u(0)=0}$$ $${\displaystyle \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=0}EA=P}$$

ヤング率 Eとnが不確かな場合、区間解は次のように定義できる。

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\left\{u(x):{\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0,u(0)=0,{\frac {du(0)}{dx}}EA=P,E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

各FEM要素について、式にテスト関数v を掛けることが可能です 。ここで$${\displaystyle \int _{0}^{L^{e}}\left({\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n\right)v=0}$$${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

部分積分をすると、弱形式の方程式が得られる 。$${\displaystyle \int _{0}^{L^{(e)}}EA{\frac {du}{dx}}{\frac {dv}{dx}}dx=\int _{0}^{L^{(e)}}nv\,dx}$$${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

グリッドポイントの集合を導入しましょう。ここで、要素の数です。そして、各FEM要素の線形形状関数です 。ここで、${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{Ne}}$${\displaystyle Ne}$$${\displaystyle N_{1}^{(e)}(x)=1-{\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}},\ \ N_{2}^{(e)}(x)={\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}}.}$$${\displaystyle x\in [x_{0}^{(e)},x_{1}^{(e)}].}$

${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$要素の左端、要素番号「e」の左端。「e」番目の要素における近似解は、形状関数の線形結合である。 ${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$

$${\displaystyle u_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x),\ \ v_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x)}$$

方程式の弱形式に代入すると、次の方程式系が得られる。

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}^{(e)}\\u_{2}^{(e)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{1}^{(e)}(x)dx\\\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{2}^{(e)}(x)dx\end{bmatrix}}}$$ またはマトリックス形式で $${\displaystyle K^{(e)}u^{(e)}=Q^{(e)}}$$

グローバル剛性マトリックスを組み立てるには、各ノードの平衡方程式を考慮する必要があります。その後、方程式は次のマトリックス形式になります。 ここ で 、 はグローバル剛性マトリックス、 は解ベクトル、 は右辺です。 $${\displaystyle Ku=Q}$$$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{11}^{(1)}&K_{12}^{(1)}&0&\cdots &0\\K_{21}^{(1)}&K_{22}^{(1)}+K_{11}^{(2)}&K_{12}^{(2)}&\cdots &0\\0&K_{21}^{(2)}&K_{22}^{(2)}+K_{11}^{(3)}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{22}^{(Ne-1)}+K_{11}^{(Ne)}&K_{11}^{(Ne)}\\0&0&\cdots &K_{21}^{(Ne)}&K_{22}^{(Ne)}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{0}\\Q_{1}\\\vdots \\Q_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$

張力圧縮問題の場合

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&0&\cdots &0\\-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(Ne-1)}A^{(Ne-1)}}{L^{(Ne-1)}}}+{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\end{bmatrix}}}$$

分布荷重nを無視すると

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}R\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}}$$

境界条件を考慮すると、剛性マトリックスは次の形式になります。

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(e-1)}A^{(e-1)}}{L^{(e-1)}}}+{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\end{bmatrix}}=K(E,A)=K{\left(E^{(1)},\dots ,E^{(Ne)},A^{(1)},\dots ,A^{(Ne)}\right)}}$$

右辺は次の形式となる

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}=Q(P)}$$

ヤング率E、断面積A、荷重Pが不確かであり、いくつかの区間に属していると 仮定しましょう。$${\displaystyle E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}]}$$ $${\displaystyle A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}]}$$ $${\displaystyle P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

区間解は次のように計算して定義できる。

$${\displaystyle \mathbf {u} =\lozenge \left\{u:K(E,A)u=Q(P),E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}],A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

区間ベクトルの計算は一般にNP 困難ですが、特定のケースでは多くのエンジニアリング アプリケーションで使用できるソリューションを計算することが可能です。 ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$

計算の結果は、区間変位である。 $${\displaystyle u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$

安全上の理由から、柱の変位はある特定の値よりも小さくなければならないと仮定します。 $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max }}$$

区間解がすべての安全条件を満たす場合、不確実なシステムは安全です。

この特定のケース または単純な $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max },\ \ \ u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}<u_{i}^{\max }}$$

後処理では、区間応力、区間ひずみ、区間限界状態関数を計算し、これらの値を設計プロセスで使用する ことができます。

区間有限要素法は、構造の信頼できる確率特性を作成するための情報が不十分な問題の解決に適用できます ( Elishakoff 2000)。区間有限要素法は、不正確な確率の理論にも適用できます。

区間 の端点のすべての可能な組み合わせについて方程式を解くことができます。 区間 のすべての頂点のリストはと書き表すことができます。 解の上限と下限は次のように計算できます。 ${\displaystyle K(p)u(p)=Q(p)}$${\displaystyle {\hat {p}}}$
${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}}$

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$

エンドポイントの組み合わせ法は通常正確な解を与えるが、残念ながらこの方法は指数関数的に計算量が多く、多くの区間パラメータを持つ問題には適用できない。^[3]

この関数はテイラー級数を使って展開できる。最も単純なケースではテイラー級数は線形近似のみを使用する。 ${\displaystyle u=u(p)}$

$${\displaystyle u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}}$$

解の上限と下限は次の式で計算できる。

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

この方法は非常に効率的ですが、あまり正確ではありません。
精度を向上させるために、高次のテイラー展開を適用することができます [Pownuk 2004]。このアプローチは、区間差分法や区間境界要素法
にも適用できます。

導関数の符号が一定であれば関数は単調となり、正確な解を非常に高速に計算できます。 ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}}$${\displaystyle u_{i}=u_{i}(p)}$

もしそうなら${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0}$${\displaystyle p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}}$

もしそうなら${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0}$${\displaystyle p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}}$

解の極値は次のように計算できる。

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })}$$

多くの構造工学アプリケーションでは、この方法は正確な解を与えます。
解が単調でない場合、通常は妥当な解です。この方法の精度を向上させるために、単調性テストと高次の感度解析を適用することができます。この方法は、計算力学の線形および非線形問題の解決に適用できます [Pownuk 2004]。感度解析法の土木工学問題の解決への適用については、次の論文を参照してください [MV Rama Rao、A. Pownuk、I. Skalna 2008]。このアプローチは、区間差分法と区間境界要素法
にも適用できます。

MuhannaとMullenは、区間パラメータを持つ有限要素方程式の解法に要素ごとの定式化を適用しました。^[4]この方法を使用すると、トラス構造やフレーム構造の場合に精度が保証された解を得ることができます。

解の剛性行列と荷重ベクトルは摂動法を用いて展開することができる。摂動法は区間解の近似値を導く。^[5]この方法は非常に効率的であり、計算力学の大規模な問題に適用することができる。 ${\displaystyle u=u(p)}$ ${\displaystyle K=K(p)}$${\displaystyle Q=Q(p)}$

応答曲面法を用いて解を近似することが可能です。そして、応答曲面法を用いて区間解を得ることができます。^[6]応答曲面法を用いると、計算力学の非常に複雑な問題を解くことが可能です。^[7]${\displaystyle u=u(p)}$

何人かの著者は、区間パラメータを持つ有限要素問題の解法に純粋な区間法を適用しようとしました。場合によっては、非常に興味深い結果が得られることがあります（例：[Popova、Iankov、Bonev 2008]）。しかし、一般的にこの方法では非常に過大評価された結果が生成されます。^[8]

Popova ^[9]とSkalna ^[10]は、係数が区間パラメータの線形結合である線形方程式系の解法を紹介した。この場合、区間方程式の非常に正確な解を保証された精度で得ることが可能である。

• 区間境界要素法
• 区間（数学）
• 区間演算
• 不正確な確率
• 多値関数
• 差別的包含
• 観測誤差
• ランダムコンパクトセット
• 信頼性（統計）
• 信頼区間
• 最良、最悪、平均のケース
• 確率的設計
• 不確実性の伝播
• 実験不確実性分析
• 感度分析
• 摂動論
• 連続体力学
• 固体力学
• トラス
• スペースフレーム
• 線形弾性
• 材料の強度

• デンプスター、AP (1967)。「多値マッピングによって誘導される上限と下限の確率」。数理統計年報 38 (2): 325–339。[4]。2009-09-23 取得
• 土木工学における不確実性の分析、W. フェリン、H. レスマン、M. オベルグッゲンベルガー、R. ヴィエイダー（編）、シュプリンガー・フェアラーク、ベルリン、2005 年
• I. エリシャコフ、「工学における確率論的手法の限界」応用力学レビュー、第53巻第2号、pp. 19～25、2000年。
• Hlavácek, I.、Chleboun, J.、Babuška, I.: 不確実な入力データの問題と最悪のシナリオ手法。エルゼビア、アムステルダム (2004)
• Köylüoglu, U.、Isaac Elishakoff ; 不確実な剛性特性を持つせん断フレームに適用された確率的有限要素と区間有限要素の比較、Computers & Structures 巻: 67、号: 1–3、1998 年 4 月 1 日、pp. 91–98
• D. Moens および D. Vandepitte、「区間感度理論と不確実構造の周波数応答エンベロープ解析へのその応用」。応用力学および工学におけるコンピュータ手法、第 196 巻、第 21-24 号、2007 年 4 月 1 日、2486 ～ 2496 ページ。
• Möller, B.、Beer, M.、「ファジーランダム性 - 土木工学と計算力学における不確実性」、Springer、ベルリン、2004 年。
• E. Popova、R. Iankov、Z. Bonev: すべてのパラメータに不確実性がある機械構造の応答の境界設定。RLMuhannah、RLMullen (編) : NSF ワークショップ「信頼性の高いエンジニアリング コンピューティング (REC)」の議事録、ジョージア州スバンナ、2006 年 2 月 22 ～ 24 日、245 ～ 265 ページ
• A. Pownuk、「ファジー偏微分方程式の数値解と計算力学への応用」、ファジー偏微分方程式と関係方程式: 貯留層の特性評価とモデリング (M. Nikravesh、L. Zadeh、V. Korotkikh 編)、ファジーとソフトコンピューティングの研究、Physica-Verlag、2004 年、308 ～ 347 ページ
• A. Pownuk、「感度分析に基づく区間パラメータによる大規模エンジニアリング問題の効率的な解決法」、信頼性の高いエンジニアリングコンピューティングに関する NSF ワークショップの議事録、2004 年 9 月 15 ～ 17 日、ジョージア州サバンナ、米国、pp. 305 ～ 316
• MV Rama Rao、A. Pownuk、I. Skalna、「不確実な構造パラメータを持つ単筋コンクリート梁の応力解析」、信頼性の高いエンジニアリングコンピューティングに関する NSF ワークショップ、2008 年 2 月 20 ～ 22 日、ジョージア州サバンナ、pp. 459 ～ 478
• ベルナルディーニ、アルベルト、トノン、フルビオ、土木工学における不確実性の境界、Springer 2010
• Ben-Haim Y.、Elishakoff I.、1990、「応用力学における不確実性の凸モデル」、Elsevier Science Publishers、ニューヨーク
• Valliappan S.、Pham TD、1993、「弾性土壌媒体上の基礎のファジー有限要素解析」。国際地盤力学数値解析法ジャーナル、第 17 巻、pp. 771–789
• Elishakoff I.、Li YW、Starnes JH、1994、「複合構造の座屈に対する未知だが制限された弾性係数の影響を予測する決定論的方法」応用力学および工学におけるコンピュータ手法、第 111 巻、pp. 155–167
• Valliappan S. Pham TD、1995、「ファジーパラメータによる弾塑性有限要素解析」、国際工学数値解析ジャーナル、38、pp. 531–548
• Rao SS、Sawyer JP、1995、「不正確に定義されたシステムの解析のためのファジー有限要素アプローチ」。AIAA ジャーナル、Vol.33、No.12、pp. 2364–2370
• Köylüoglu HU、Cakmak A.、Nielsen SRK、1995、「構造力学における区間マッピング」。Spanos 編、計算確率力学、125～133 ページ。バルケマ、ロッテルダム
• Muhanna, RL および RL Mullen (1995)。「連続体力学におけるあいまいさに対する区間ベース手法の開発」、第 3 回国際不確実性モデリングおよび分析シンポジウムおよび北米ファジー情報処理学会年次会議 (ISUMA–NAFIPS '95) の議事録、IEEE、705–710

• 信頼性の高いエンジニアリングコンピューティング、ジョージア工科大学、サバンナ、米国
• 区間計算 2008-09-20 にWayback Machineにアーカイブされました
• 信頼性の高いコンピューティング（ジャーナル）
• 区間方程式（参考文献集）
• 区間有限要素ウェブアプリケーション
• E. ポポバ、区間線形システムのパラメトリック解集合
• 不正確な確率に関する学会：理論と応用