双凸最適化

双凸最適化は、目的関数と制約集合が双凸である凸最適化の一般化です。これらの問題のグローバル最適解を見つけることができる手法があります。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

セット${\displaystyle B\subset X\times Y}$は、上の双凸集合と呼ばれる。${\displaystyle X\times Y}$固定値ごとに${\displaystyle y\in Y}$、${\displaystyle B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}}$は凸集合である${\displaystyle X}$そして、固定されたすべての${\displaystyle x\in X}$、${\displaystyle B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}}$は凸集合である${\displaystyle Y}$。

関数${\displaystyle f(x,y):B\to \mathbb {R} }$固定すると双凸関数と呼ばれる${\displaystyle x}$、${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$凸である${\displaystyle Y}$そして修理する${\displaystyle y}$、${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$凸である${\displaystyle X}$。

双凸問題を解く一般的な方法（解のグローバル最適性を保証するものではない）は、交互に更新することです。${\displaystyle x,y}$それらのうちの1つを固定し、対応する凸最適化問題を解くことによって。^{[ 1 ]}

2つ以上の引数を持つ関数への一般化は、ブロック多重凸関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{K})\to \mathbb {R} }$ ブロックが多重凸であるのは、他のすべての引数を固定したまま、個々の引数のそれぞれに関して凸である場合に限る。^{[ 3 ]}