レベルセット法

レベルセット法（LSM ）は、レベルセットを曲面や形状の数値解析ツールとして使用するための概念フレームワークです。LSMは、曲線や曲面を含む数値計算を、これらのオブジェクトをパラメータ化することなく、固定されたデカルト座標グリッド上で実行できます。^{[ 1 ]} LSMを使用すると、鋭角な形状やトポロジーが変化する形状（2つに分割されたり、穴が開いたりするなど）の計算が容易になります。これらの特性により、LSMは、エアバッグの膨張や水中に浮遊する油滴など、時間とともに変化するオブジェクトのモデリングに効果的です。

右の図は、LSMに関するいくつかの概念を示しています。左上隅には、境界が明確な有界領域があります。その下の赤い面は、レベルセット関数のグラフです。${\displaystyle \varphi }$この形状を決定し、平らな青い領域はXY平面を表します。形状の境界は、次のゼロレベルのセットです。${\displaystyle \varphi }$形状自体は、平面上の点の集合であり、${\displaystyle \varphi }$形状の内部では正の値、境界ではゼロの値をとります。

上段では、形状が2つに分割されるにつれて、そのトポロジーが変化します。形状の境界をパラメータ化してその変化を追跡することで、この変換を数値的に記述するのは困難です。アルゴリズムを使用して、形状が2つに分割される瞬間を検出し、新しく得られた2つの曲線のパラメータ化を構築することができます。一方、下段では、レベルセット関数がサンプリングされる平面が上方に移動され、その平面上で形状のトポロジーの変化が記述されます。形状自体を直接扱うよりも、レベルセット関数を通して形状を扱う方が困難は少なくなります。直接扱う場合、形状が受ける可能性のあるすべての変形を考慮する必要があるからです。

したがって、2次元では、レベルセット法は閉曲線を表現することに相当する。${\displaystyle \Gamma }$（例にある形状境界など）補助関数を使用する${\displaystyle \varphi }$レベルセット関数と呼ばれる曲線。${\displaystyle \Gamma }$はゼロレベルセットとして表現される${\displaystyle \varphi }$による

${\displaystyle \Gamma =\{(x,y)\mid \varphi (x,y)=0\},}$

レベルセット法は${\displaystyle \Gamma }$関数を通して暗黙的に${\displaystyle \varphi }$この機能${\displaystyle \varphi }$曲線で区切られた領域内では、正の値をとると想定される。${\displaystyle \Gamma }$外側は負の値です。^{[ 2 ] [ 3 ]}

曲線が${\displaystyle \Gamma }$通常の方向に速度で移動する${\displaystyle v}$そして連鎖律と陰関数微分により、レベルセット関数が決定できる。${\displaystyle \varphi }$レベルセット方程式を満たす

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=v|\nabla \varphi |.}$

ここ、${\displaystyle |\cdot |}$はユークリッドノルム（偏微分方程式では慣例的に単一のバーで表される）であり、${\displaystyle t}$は時間です。これは偏微分方程式、特にハミルトン・ヤコビ方程式であり、例えばデカルト座標系上の有限差分法を用いて数値的に解くことができます。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}

しかし、レベルセット方程式の数値解法には高度な技術が必要となる場合があります。単純な有限差分法ではすぐに失敗します。ゴドゥノフ法などのアップウィンド法の方が優れていると考えられていますが、レベルセット法は、形状とサイズを維持する移流場（例えば、一様または回転速度場）において、セットレベルの体積と形状の保存を保証しません。代わりに、レベルセットの形状が歪み、数ステップでレベルセットが消滅する可能性があります。そのため、高次の本質的に非振動的な（ENO）スキームなどの高次の有限差分スキームがしばしば必要となり、それでもなお、長期シミュレーションの実現可能性は疑問視されます。これを克服するために、より高度な手法が開発されています。例えば、速度場によって示唆される追跡マーカー粒子とレベル法の組み合わせなどです。^{[ 4 ]}

単位円を考えてみましょう$\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$円は一定の速度で縮小し、つまり円の境界上の各点は、内側に向かう法線に沿って一定の速度で移動します。円は縮小し、最終的には一点に収束します。初期距離場（境界までの符号付きユークリッド距離を値とする関数、正は内部、負は外部）を初期円上に構築すると、この場の正規化された勾配が円の法線になります。

場から一定値が時間的に減算されると、新しい場のゼロレベル（初期境界）も円形になり、同様に一点に収束します。これは、固定された前面速度を持つアイコナール方程式の時間積分に相当します。

• 燃焼の数学的モデリングでは、LSMはG方程式として知られる瞬間的な火炎面を記述するために使用されます。
• レベルセットデータ構造は、コンピュータアプリケーションにおけるレベルセット法の利用を容易にするために開発された。
• 計算流体力学
• 軌道計画
• 最適化
• 画像処理
• 計算生物物理学
• 離散的な複素力学（パラメータ平面と力学平面の可視化）

レベルセット法は1979年にアラン・デルヴィユー^{[ 5 ]}によって開発され、その後スタンレー・オシャーとジェームズ・セシアンによって普及しました。以来、画像処理、コンピュータグラフィックス、計算幾何学、最適化、計算流体力学、計算生物学など、多くの分野で普及しています。

• ロナルド・フェドキウの学術ウェブページには、レベルセット法を用いて現実世界の現象をモデル化する方法を示す多くの図やアニメーションが掲載されていますので、ぜひご覧ください。
• Multivacは、レベルセット法を用いた2次元空間におけるフロントトラッキングのためのC++ライブラリです。
• ジェームズ・セシアンのレベルセット法に関するウェブページ。
• スタンリー・オシャーのホームページ。
• レベルセット法。MIT 16.920J / 2.097J / 6.339J。Per-Olof Persson著「偏微分方程式の数値解法」。2005年3月8日
• 講義11：レベルセット法：MIT 18.086. エンジニアのための数学的手法II（ギルバート・ストラング著）