一般線形法

一般線形法( GLM ) は、常微分方程式の数値解を求めるために使用される数値解法の大きなクラスです。これには、中間コロケーション点を使用する多段階ルンゲ・クッタ法や、解の有限時間履歴を保存する線形多段階法が含まれます。ジョン・C・ブッチャーは、これらの方法に対して最初にこの用語を考案し、このトピックに関する一連のレビュー論文^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} 、書籍の章^{[ 4 ]} 、 および教科書^{[ 5 ]}を執筆しました 。彼の共同研究者であるズジスワフ・ジャキエヴィチも、このトピックに関する包括的な教科書^{[ 6 ]}を執筆しています。この方法の元のクラスは、ブッチャー (1965)、ギア (1965)、およびグラッグとステッター (1964) によって最初に提案されました。

1階常微分方程式の数値解法は、次の形式の初期値問題の解を近似する。

${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

その結果、値の近似値が得られます。${\displaystyle y(t)}$離散的な時間に$t_i$:

${\displaystyle y_{i}\approx y(t_{i})\quad {\text{ただし}}\quad t_{i}=t_{0}+ih,}$

ここでhは時間ステップ（時として${\displaystyle \Delta t}$)

本稿ではButcher（2006）の189～190ページに記載されている方法に従うが、この方法は他の文献にも記載されていることを付記しておく。

一般的な線形法では、2つの整数を使用します。${\displaystyle r}$ –歴史上の時点の数、そして${\displaystyle s}$ –コロケーションポイントの数。${\displaystyle r=1}$これらの方法は古典的なルンゲ・クッタ法に帰着し、${\displaystyle s=1}$これらの方法は、線形多段階法に帰着する。

ステージ値${\displaystyle Y_{i}}$および段階派生${\displaystyle F_{i},\ i=1,2,\dots s}$近似値から計算される${\displaystyle y_{i}^{[n-1]},\ i=1,\dots ,r}$タイムステップで${\displaystyle n}$:

${\displaystyle y^{[n-1]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n-1]}\\y_{2}^{[n-1]}\\\vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{matrix}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{matrix}y_{1}^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{matrix}}\right],\quad Y=\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{s}\end{matrix}}\right],\quad F=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}f(Y_{1})\\f(Y_{2})\\\vdots \\f(Y_{s})\end{matrix}}\right].}$

ステージ値は2つの行列によって定義される${\displaystyle A=[a_{ij}]}$そして${\displaystyle U=[u_{ij}]}$:

${\displaystyle Y_{i}=\sum _{j=1}^{s}a_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}u_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,s,}$

そして時間の更新${\displaystyle t^{n}}$2つの行列によって定義される${\displaystyle B=[b_{ij}]}$そして${\displaystyle V=[v_{ij}]}$:

${\displaystyle y_{i}^{[n]}=\sum _{j=1}^{s}b_{ij}hF_{j}+\sum _{j=1}^{r}v_{ij}y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\dots ,r.}$

4つの行列が与えられた場合${\displaystyle A,U,B}$そして${\displaystyle V}$ブッチャー図表の類似物を簡潔に記述すると次のようになる。

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}Y\\y^{[n]}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A\otimes I&U\otimes I\\B\otimes I&V\otimes I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}hF\\y^{[n-1]}\end{matrix}}\right],}$

どこ${\displaystyle \otimes }$はクロネッカー積を表します。

(Butcher, 1996)に記載されている例を紹介します。^{[ 7 ]} この方法は、単一の「予測」ステップと、時間履歴に関する追加情報と単一の中間段階値を使用する「修正」ステップで構成されています。

中間段階の値とは、線形多段階法から得られたように見える値として定義される。

${\displaystyle y_{n-1/2}^{*}=y_{n-2}+h\left({\frac {9}{8}}f(y_{n-1})+{\frac {3}{8}}f(y_{n-2})\right).}$

最初の「予測因子」${\displaystyle y_{n}^{*}}$ステージ値を使用する${\displaystyle y_{n-1/2}^{*}}$二つの時間史的要素とともに：

${\displaystyle y_{n}^{*}={\frac {28}{5}}y_{n-1}-{\frac {23}{5}}y_{n-2}+h\left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f(y_{n-2})\right),}$

そして最終更新は

${\displaystyle y_{n}={\frac {32}{31}}y_{n-1}-{\frac {1}{31}}y_{n-2}+h\left({\frac {5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4}{31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\right).}$

この方法の簡潔な表表現は、次のとおりです。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|cccc}0&0&0&0&1&{\frac {9}{8}}&{\frac {3}{8}}\\{\frac {32}{15}}&0&0&{\frac {28}{5}}&-{\frac {23}{5}}&-4&-{\frac {26}{15}}\\{\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\\hline {\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right].}$

• ルンゲ・クッタ法
• 線形多段階法
• 常微分方程式の数値解法

• Butcher, John C. (1965 年 1 月). 「常微分方程式の数値積分のための修正多段階法」 . Journal of the ACM . 12 (1): 124–135 . doi : 10.1145/321250.321261 . S2CID 36463504 . 
• Gear, CW (1965). "常微分方程式の初期値問題に対するハイブリッド法". Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series B: Numerical Analysis . 2 (1): 69– 86. Bibcode : 1965SJNA....2...69G . doi : 10.1137/0702006 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4rj60q8s . S2CID 122744897 . 
• Gragg, William B.; Hans J. Stetter (1964 年 4 月) 「一般化多段階予測子-修正子法」 ACMジャーナル11 ( 2): 188–209 . doi : 10.1145/321217.321223 . S2CID 17118462 . 
• Hairer, Ernst; Wanner, Wanner (1973)、「常微分方程式に対する多段階多階多微分法」、Computing、11 (3): 287–303、doi : 10.1007/BF02252917、S2CID 25549771 。

• 一般線形法